対象について本質的に全射

essentially surjective on objects

https://gyazo.com/7d1f97f7906c2e7ddc983654caab8de1

$ \mathscr{B}側の、ぼっちの対象が、

ぼっちでない対象のどれかと同型である状態

定義

関手$ F:\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{B}について、

各$ B\in\mathscr{B}について、ある$ A\in\mathscr{A}が存在し、

$ F(A)\cong Bになること

$ \congは同型

上の定義の中の最後の条件が$ F(A)=Bとなるなら

本質的に全射よりももっと厳しく、「対象について全射」になる

つまり、「対象について全射」は、「対象について本質的に全射」でもある

全射性を、対象に見るか、射に見るか、の違いがある

なので全く違うもの

言うなれば、充満関手は「射について全射」

table:こんな感じ

射対応

本質的に全射対象について本質的に全射

全射充満関手

「全射」のほうが、「本質的に全射」より厳しいので

「全射」ならば「本質的に全射」でもある

なので

充満(だが|ではないが)、対象について本質的に全射(である|ではない)という、4パターンの関手が普通に存在する

2種類の関手の例

https://gyazo.com/6e66e49e0661a6b00e2dc99a966b5e7a

左側の、対象$ B_4と、そこから$ B_3に向かう射は、ぼっちになっているが、充満関手の定義上、これらの存在は問題ではない

青矢印で射の対応を示している

右側は、「充満ではないが、対象について本質的に全射」な関手を表している

緑矢印で対象の対応を示している

$ B_1はぼっち対象だが、$ B_1と同型である

射$ b_2は、ぼっち射なので、関手$ Fは充満ではない

補足

この図はいくつか端折っているので厳密性には欠ける

例えば左側で$ F(A_1)=B_1などもちゃんと明示していないといけない

ただ、煩雑になるのと、頭で補完できるので省略