圏に関するものどうしの同じさ

圏の中の2つの対象が「同じ」とは

その間の射に着目して、

対象間に同型射があること

$ f:A\rightarrow B,$ g:B\rightarrow Aについて、$ g\circ f=1_A, $ f\circ g=Bが存在する

同型の話mrsekut.icon

2つの関手が「同じ」とは

その間の射である自然変換に着目して

その自然変換が同型射であるとき、

その自然変換を自然同型と呼び、

その2つの関手は同型であるという

自然同型の話mrsekut.icon

2つの圏が「同じ」とは

関手に着目して

その関手が同型射であるとき、

その2つの圏は同型であるという

名付けるなら圏同型

が、この条件はめっちゃ厳しいので、レアケースすぎる？のか何かでもうちょい緩めるらしい

存在はするのか #??

圏と圏の同型の代わりにもう少し緩い圏同値を考える

関手$ F,G:\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{B}ついて、

$ G\circ F\cong 1_\mathscr{A}である

$ G\circ F =1_\mathscr{A}であるのは、きつすぎるらしい

上に書いた対象間の同型のときは「$ =」だったのに

どのへんがゆるいのかを具体例をもって理解したいなぁmrsekut.icon

圏同値の話mrsekut.icon

圏の圏を考えれば、上のものに帰着できる？

https://gyazo.com/984569864749cddf3b8a3c7258cfe838

普通に考えれば、圏と圏の間に、可逆な関手がアレば、圏同型と言えそう