コンマ圏 - mrsekut-p

コンマ圏

comma category

$ F↓Gのように表記する

$ F\Rightarrow Gと表記されることもある

もともとは$ (F,G)と書いていたのが、「コンマ圏」の由来だが、,は至るところで使われて紛らわしいので表記の仕方が代わったらしいmrsekut.icon

定義

圏$ \mathscr{C},\mathscr{D}_0,\mathscr{D}_1と、関手$ F:\mathscr{D}_0\rightarrow\mathscr{C}と$ G:\mathscr{D}_1\rightarrow\mathscr{C}が与えられた時、

コンマ圏 $ F↓Gを次の様に定義する

対象は3つ組$ \lang d_0,d_1,f\rang

$ \mathscr{D}_0の対象

$ \mathscr{D}_1の対象

$ \mathscr{C}の射$ f:Fd_0→Fd_0'

射は2つ組$ \lang g_0,g_1\rang

$ \mathscr{D}_0,\mathscr{D}_1の射の組であり、下記を満たすもの

$ Gg_1\circ f = f'\circ Fg_0

可換図式は下記の通り

https://gyazo.com/5bc70f77a3856ddd8b0f28e5f37d0c46 https://q.uiver.app/#q=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

上記で定義されるコンマ圏$ F\downarrow Gを図示すると以下のようになる

https://gyazo.com/7097e1840519f1b65e0748031f6b8f02 https://q.uiver.app/#q=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

コンマ圏には、4 (=2 * 2)種類の特殊系がある

軸1: 何を固定するか

①対象を固定する

つまり、定関手$ \Delta A:1→\mathscr{C}を使う

② 恒等関手にする

恒等関手$ \mathrm{Id}_\mathscr{C}:\mathscr{C}→\mathscr{C}を使う

軸2: 左右の関手のどちらを固定するか

右 ($ G)

左 ($ F)

上記の組み合わせで下記の4種類ある

①対象を固定

右を対象$ Aに固定: $ F↓A