Hom関手 - mrsekut-p

Hom関手

hom functor

https://gyazo.com/9c9088394050856205f84c09249566b7

この図の$ H^Aが圏$ \mathscr{A}から集合の圏SetへのHom関手

図の説明

$ Aを固定して、$ Aから適当な$ Xへの射の集合が$ \mathscr{A}(A,X)

これは集合なので、Setの対象である

$ Aから$ Xへの射の一つが$ g

つまり$ g\in\mathscr{A}(A,X)

$ Aから$ Yへの射の集合が$ \mathscr{A}(A,Y)

$ Xから$ Yへの射が$ f

関手の定義

対象について

適当に$ Xを選ぶと、対応した集合$ \mathrm{Hom}_\mathscr{A}(A,X)が決まる

つまり、$ H^A: \mathscr{A}\to \mathrm{Set}は、

$ X\mapsto \mathscr{A}(A,X)で定義される

射について

射の対応は、$ \mathscr{A}の射$ f:X\rightarrow Yとの合成を考えれば良い

$ \mathscr{A}(A,X)から一つ選ぶと、$ \mathscr{A}(A,Y)から一つが決まる

つまり、$ H^A(f): \mathscr{A}(A,X)\to \mathscr{A}(A,Y)は

$ g\mapsto f\circ gで定義される

$ H^A(f)は$ \mathscr{A}(A,f)とか$ f\circ -のようにも表記される