米田の補題
Yoneda's lemma
前提とされる知識
etc.
定理
$ [\mathscr{A}^\mathrm{op},\mathrm{Set}](H_A, X)\cong X(A) が
$ A\in\mathscr{A} と$ X\in[\mathscr{A}^\mathrm{op},\mathrm{Set}] について自然に成り立つ 補足
$ [\mathscr{A}^\mathrm{op},\mathrm{Set}] は関手圏Fun $ [\mathscr{A}^\mathrm{op},\mathrm{Set}](H_A, X) は↑の関手圏の射の集合
つまり、自然変換$ H_A\to Xの集合
定理 その2
$ [\mathscr{A},\mathrm{Set}](H^A,X)\cong X(A)
$ A\in\mathscr{A} と$ X\in[\mathscr{A},\mathrm{Set}] について自然に成り立つ 上と同じことを言っているmrsekut.icon
反変Hom関手に対して言ってるか、余前層に対して言っているかの違いしかない 証明
何を言っているのか
https://gyazo.com/c59b76fc8706a4c8d635f355c781d79d
「$ H_Aから$ Xへの自然変換の集合」と「$ X(A)(集合)」が本質的に同値だと言っている
つまり、自然変換$ H_A\to Xは、$ X(A)の元である
何が嬉しいのか
関連
『圏論の基礎』.icon p.78 演習問題3
$ \mathrm{Nat}(K,D(a,-))\cong\mathrm{Nat}(a,Q)
プログラミングとの関連
HaskellにYonedaというライブラリがある ref 参考
scala
米田の補題の3つの帰結
ref ベシ圏 p.119~
この3つのことで合ってる？