反変Hom関手 - mrsekut-p

反変Hom関手

前層である

$ \mathscr{A}から$ \mathrm{Set}への反変Hom関手$ H_A:\mathscr{A}^\mathrm{op}\to\mathrm{Set}

Hom関手では、$ Aを固定して、$ \mathrm{Hom}_\mathscr{A}(A,-)を考えたが、

その逆、後ろ側を固定して$ \mathrm{Hom}_\mathscr{A}(-,A)を考える

https://gyazo.com/39df25c28d9550416a5cc2b03459d471

この図の$ H_Aが、圏$ \mathscr{A}から集合の圏Setへの反変Hom関手

図の説明

$ Aを固定して、適当な$ Xから$ Aへの射の集合が$ \mathscr{A}(X,A)

これは集合なので、Setの対象である

$ Xから$ Yへの射が$ f

$ X\to Yの向きと、$ \mathscr{A}(X,A)\leftarrow\mathscr{A}(Y,A)の向きが逆転している

関手の定義

対象について

適当に$ Xを選ぶと、対応した集合$ \mathscr{A}(X,A)が決まる

つまり、$ H_A:\mathscr{A}^\mathrm{op}\to \mathrm{Set}は

$ X\mapsto \mathscr{A}(X,A)で定義される

射について

射の対応は、$ \mathscr{A}の射$ f:X\rightarrow Yとの合成を考えれば良い

$ H_Af:\mathscr{A}(Y,A)\to\mathscr{A}(X,A)は

$ g\mapsto g\circ fで定義される

$ H_Afは、$ \mathscr{A}(f,A)とか$ -\circ fのようにも表記される