群
group
$ Gを臺集合として、組$ (G,\cdot_{:G\times G\to G},1_{\in G},{^{-1}}~_{:G\to G})は以下を滿たすならば群である 結合律$ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c) 可逆律$ a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1 $ Gを臺集合として組$ (G,\cdot_{:G\times G\to G},~^{-1}~_{:G\to G})は、等式$ w\cdot(((y^{-1}\cdot(w^{-1}\cdot x))^{-1}\cdot z)\cdot(y\cdot z)^{-1})^{-1}=xを滿たすならば群と言ふ 一點圈$ \bf *で射が全て同型射ならば、Hom$ {\bf *}(*,*)を群と見做せる 像 (im)$ {\rm im}(h):=\{h(g)|g\in G\}\subseteq H 餘核$ {\rm coker}(h):=H/{\rm im}(h) 核 (ker)$ {\rm ker}(h):=\{g|g\in G,h(g)=1_H\} $ {\rm ker}(h)\trianglelefteq G
$ hが單射 iff.$ {\rm ker}(h)=\{e_G\} 餘像$ {\rm coim}(h):=G/{\rm ker}(h) $ {\rm coim}(h)\cong{\rm im}(h)
體$ (F,+,\cdot,0,1)の加法群$ (F,+,-,0) 體$ (F,+,\cdot,0,1)の乘法群$ (F\setminus\{0\},\cdot,/,1) 正規部分群$ N\trianglelefteq G,$ N:=\{n|N\subseteq G,n\in N,\forall g_{\in G}\forall n(g^{-1}ng\in N)\} 交換子部分群$ \lbrack G,G\rbrack:=\lang\{\lbrack x,y\rbrack|x,y\in G\}\rang 中心 (群) (center)$ Z(G):=\{z|z\in G,\forall g_{\in G}(zg=gz)\} 相似變換$ g^{-1}zg=zによって變はらない元の集まり
$ G/Z(G)\cong{\rm Inn}(G)
完全列$ 1\to Z(G)\to G\to{\rm Aut}(G)\to{\rm Out}(G)\to 1 特性部分群 (characteristic subgroup)$ H~{\rm char}~G 群$ Gに對する群作用としての自己同型群$ {\rm Aut}(G)によって不變となる群$ Gの部分群 特性部分群は正規部分群$ H~{\rm char}~G\implies H\trianglelefteq G 共軛 (相似)$ a^g:=g^{-1}ag
$ aの共軛類$ a^G:=\{a^g|g\in G\}は$ Gに於ける同値關係である $ aの共軛集合$ G^a:=\{g^a|g\in G\}
類等式$ |G|=|Z(G)|+\sum_i\lbrack G:C_G(x_i)\rbrack
有限群 (finite group)
散在群 (sporadic group)
Mathieu 群
p-群 (p-group。p-準素群 (p-primary group)。準素群 (primary group)) 一般線形群 (general linear group)$ {\rm GL}(n,F) 全行列環$ M_n(R)
$ {\rm SO}(n)の二重被覆。普遍被覆でもある Lie 群の短完全列$ 1\to\Z_2\to{\rm Spin}(n)\to{\rm SO}(n)\to 1 compact 斜交群 (屡)$ {\rm Sp}(n)
恆等操作、囘轉操作、鏡映操作、反轉操作、囘映操作、囘反操作、竝進操作
$ {\Bbb T}:=(\{z|z\in\Complex,|z|=1\},\cdot,1,\frac 1 z)
$ {\Bbb T}\approx{\rm U}(1)\approx\R/\Z\approx{\rm SO}(2)
四元數群$ Q_8
群の直積 - Wikipedia$ G\times H:=(G\times H,(g_1,h_1)\cdot(g_2,h_2)\mapsto(g_1\cdot g_2,h_1\cdot h_2),(1_G,1_H),(g,h)^{-1}\mapsto(g^{-1},h^{-1})) 內部半直積$ G=N\rtimes Hとは、$ N\trianglelefteq Gかつ$ H\subseteq Gかつ$ G=NHかつ$ N\cap H=1である事
$ Gの元は$ nhと一意に書ける
短完全列$ 1\to N\to G\to H\to 1は分裂する 外部半直積$ N\rtimes_\varphi H
群$ N,$ Hと群準同型$ \varphi:H\to{\rm Aut}(N)に對して、外部半直積$ N\rtimes_\varphi H:=(N\times H,(n_1,h_1)\cdot(n_2,h_2)\mapsto(n_1\cdot\varphi_{h_1}(n_2),h_1\cdot h_2),(1_N,1_H),(n,h)^{-1}\mapsto(\varphi_{h^{-1}}(n^{-1}),h^{-1})) 擴張
準群 (quasigroup)$ (Q,*_{:Q\times Q\to Q})
Latin 方格性 (Latin square property)$ \forall a,b_{\in Q}!\exist x,y_{\in Q}(a*x=b\land y*a=b)
Latin 方格 (Latin square)
左除法 (left division)$ x=a\backslash b,右除法 (right division)$ y=b/aと書く
左準群$ x\backslash(x*y)=y,$ x*(x\backslash y)=y
右準群$ (y*x)/x=y,$ (y/x)*x=y
$ x*e=x=e*x
pique (pointed idempotent quasigroup)
moufang loop