自己同型群
automorphism group$ {\rm Aut}(X)
對象$ Xの自己同型射全ての集まり$ {\rm Aut}(X):=\{f:X\to X|\exist f^{-1}~_{:X\to X}(f;f^{-1}={\rm id}_X=f^{-1};f)\}は、集合を成すならば、射の合成を演算として群を成す 閉じてゐる$ (f;g);(f;g)^{-1}={\rm id}_X
單位律$ {\rm id}_X\in{\rm Aut}(X),$ {\rm id}_X;f=f;{\rm id}_X=f 可逆律$ f\in{\rm Aut}(X)ならば$ f^{-1}\in{\rm Aut}(X) 更に點每の和を考へて自己準同型環$ {\rm End}(X)を成す 群$ (G,~,e)について、共軛の集合$ {\rm Inn}(G):=\{-^a:G\to G|a\in G,g^a:=a^{-1}ga\}は寫像の合成を演算として群を成す。$ -^b\circ-^a(g)=(g^a)^bを$ g^{ab}と書く 閉じてゐる$ g^{ab}=b^{-1}(a^{-1}ga)b\in G
結合律$ (g^{ab})^c=c^{-1}(b^{-1}a^{-1}gab)c=c^{-1}b^{-1}(a^{-1}ga)bc=(g^a)^{bc} 可逆律$ (-^a)^{-1}(g)=aga^{-1}=(a^{-1})^{-1}ga^{-1}=g^{a^{-1}} 故に共軛は自己同型寫像である$ {\rm Inn}(G)\subseteq{\rm Aut}(G) $ aによる共軛$ g^a=a^{-1}gaは自己同型寫像である$ (-^a)^{-1}\circ-^a(g)=g $ \because$ (-^a)^{-1}(a^{-1}ga)=g=a(a^{-1}ga)a^{-1}
外部自己同型群$ {\rm Out}(G):={\rm Aut}(G)/{\rm Inn}(G) 群$ Gの自己同型群$ {\rm Aut}(G)の位數$ |{\rm Aut}(G)|は、もとの群の位數$ |G|より多い事も少ない事もある 群$ \{e,f=f^{-1}\}の自己同型群は自明群$ \{e\}である。$ |{\rm Aut}(G)|<|G| 自明群の自己同型群は自明群である。$ |{\rm Aut}(G)|=|G| $ \Z/2\Z\times\Z/2\Z\times\Z/2\Zの位數は 8 であり、その自己同型群の位數は$ _{8-1}P_3=168である。$ |{\rm Aut}(G)|>|G|