monoid
臺集合 (underlying set) と演算の公理 (律) に依る古典的な定義。$ Mを臺集合とし、$ \cdot:M\times M\to Mを$ M上の閉じた二項演算、$ 1\in Mを單位 (unit) と呼べば、組$ (M,\cdot,1)が monoid であり、以下の律が成り立つ。記號の濫用で$ (M,\cdot,1)を單に$ Mとも書く 結合律 (associative law)$ a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c 單位律 (unit law)$ 1\cdot a=a=a\cdot 1 單位は可換 (commutative) であるが、monoid 全體に可換律 (commutative law) は要求されない。滿たせば可換 monoid (commutative monoid) と呼ぶ 二つの monoid$ (M,\cdot,1),$ (M',\cdot',1')の閒に以下の條件を滿たす寫像$ f:M\to M'が在ればそれを$ Mから$ M'への monoid 準同型 (monoid homomorphism) と呼ぶ 結合を保つ$ f(a\cdot b)=f(a)\cdot'f(b)
單位を保つ$ f(1)=1'
群準同型では結合を保てば單位が保たれるが、monoid 準同型ではさうでないのでこれを要求する 全單射な monoid 準同型は monoid 同型 (monoid isomorphism) と呼ぶ。monoid 同型が在る時その二つの monoid は同型 (isomorphic)であると言ふ 簡約律を滿たす有限 monoid はそのまま群である 忘卻函手$ \bf{Grp}\to\bf{Mon}の右隨伴 忘卻函手$ \bf{Grp}\to\bf{Mon}の左隨伴 對象と恆等射は同一視できるから、この對象は monoid の單位元と見做せる monoid 作用を考へれば、この對象は monoid が作用する何かである monoid$ (M,\cdot,1)の元$ a,b,c,…を圈の射$ a:*\to*と見做せる 始域$ {\rm dom}(a)=*
終域$ {\rm cod}(a)=*
合成$ a;b\coloneqq a\cdot bは結合律$ a;(b;c)=(a;b);cを滿たす 恆等射$ {\rm id}\coloneqq1は恆等律$ 1;a=a,$ b;1=bを滿たす monoid 準同型$ f:M\to M'は對象を一つだけ持つ圈の閒の函手である 對象の對應$ f(*)=*'
射の對應$ f(a)=a'
射の合成を保つ$ f(a;b)=f(a);f(b)
恆等射を保つ$ f(1)=1'
全ての射が同型射 (逆射を持つ) であればこれは群である 臺集合$ Mの要素を對象とする
射は恆等射のみで好い。使はないので他に射が在っても好い 結合律子は結合律$ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)である 左右の單位律子は單位律$ 1\cdot a=a,$ a\cdot 1=aである 二項演算$ \cdot:M\times M\to Mを乘法とする
$ ((a,b),c)\xrightarrow\alpha (a,(b,c))\xrightarrow{{\rm id}\times\cdot}(a,b\cdot c)\xrightarrow\cdot a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\xleftarrow\cdot(a\cdot b,c)\xleftarrow{\cdot\times{\rm id}}((a,b),c)
單位律子圖式
$ (\{*\},1)\xrightarrow{\eta\times{\rm id}}(1,1)\xrightarrow\cdot 1\xleftarrow{\rm snd}(\{*\},1)
$ (1,\{*\})\xrightarrow{{\rm id}\times\eta}(1,1)\xrightarrow\cdot 1\xleftarrow{\rm fst}(1,\{*\})
monoid 準同型$ f:(M,\cdot,1={\rm cod}(\eta))\to(M',\cdot',1'={\rm cod}(\eta'))は monoid 射である 乘法の保存$ (\cdot;f)((a,b))=f(a\cdot b)=f(a)\cdot'f(b)=((f\times f);\cdot')((a,b))
單位射の保存$ (\eta;f)(\{*\})=f(1)=1'=\eta'(\{*\})
二項演算は乘法$ \mu:M\times M\to M
單位元は單位射の餘域$ {\rm cod}(\eta)=\eta(\{*\})\in M
$ ((a,b),c)\xrightarrow\alpha (a,(b,c))\xrightarrow{{\rm id}\times\mu}(a,\mu((b,c)))\xrightarrow\mu\mu((a,\mu((b,c)))),$ \mu((\mu((a,b)),c))\xleftarrow\mu(\mu((a,b)),c)\xleftarrow{{\mu\times{\rm id}}}((a,b),c)が可換圖式と成るから$ \mu((a,\mu((b,c))))=\mu((\mu((a,b)),c)) 單位律子圖式に依り
$ (*,a)\xrightarrow{\eta\times{\rm id}}({\rm cod}(\eta),a)\xrightarrow\mu\mu(({\rm cod}(\eta),a)),$ a\xleftarrow{\rm snd}(*,a)が可換圖式と成るから$ \mu(({\rm cod}(\eta),a))=a $ (a,*)\xrightarrow{{\rm id}\times\eta}(a,{\rm cod}(\eta))\xrightarrow\mu \mu((a,{\rm cod}(\eta))),$ a\xleftarrow{\rm fst}(a,*)が可換圖式と成るから$ \mu((a,{\rm cod}(\eta)))=a monoid 射$ f:(M,\mu,\eta)\to(M',\mu',\eta')は monoid 準同型である 結合を保つ$ f(\mu((a,b)))=(\mu;f)((a,b))=((f\times f);\mu')((a,b))=\mu'((f(a),f(b)))
單位を保つ$ f({\rm cod}(\eta))=(\eta;f)(\{*\})=\eta'(\{*\})={\rm cod}(\eta')