monoid
臺集合 (underlying set) と演算の公理 (律) に依る古典的な定義。$ Mを臺集合とし、$ \cdot:M\times M\to Mを$ M上の閉じた二項演算、$ 1\in Mを單位 (unit) と呼べば、組$ (M,\cdot,1)が monoid であり、以下の律が成り立つ。記號の濫用で$ (M,\cdot,1)を單に$ Mとも書く 結合律 (associative law)$ a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c 單位律 (unit law)$ 1\cdot a=a=a\cdot 1 單位は可換 (commutative) であるが、monoid 全體に可換律 (commutative law) は要求されない。滿たせば可換 monoid (commutative monoid) と呼ぶ 二つの monoid$ (M,\cdot,1),$ (M',\cdot',1')の閒に以下の條件を滿たす寫像$ f:M\to M'が在ればそれを$ Mから$ M'への monoid 準同型 (monoid homomorphism) と呼ぶ 結合を保つ$ f(a\cdot b)=f(a)\cdot'f(b)
單位を保つ$ f(1)=1'
群準同型では結合を保てば單位が保たれるが、monoid 準同型ではさうでないのでこれを要求する 全單射な monoid 準同型は monoid 同型 (monoid isomorphism) と呼ぶ。monoid 同型が在る時その二つの monoid は同型 (isomorphic)であると言ふ 半群 (semigroup) や群 (group) との關係 簡約律を滿たす有限 monoid (臺集合$ Mの濃度 (cardinality) が有限) はそのまま群である 忘卻函手$ \bf{Grp}\to\bf{Mon}の右隨伴 忘卻函手$ \bf{Grp}\to\bf{Mon}の左隨伴 對象 (object) の集まりを單元集合$ \{*\}とする
monoid$ (M,\cdot,1)の要素$ a,b,c,…を圈の射 (morphism; arrow) $ a:*\to*と見做せる 始域$ dom(a)=*
終域$ cod(a)=*
合成 (圖式順)$ a;b\coloneqq a\cdot bは結合律$ a;(b;c)=(a;b);cを滿たす 恆等射$ id\coloneqq1は恆等律$ 1;a=a,$ b;1=bを滿たす monoid 準同型$ f:M\to M'は對象が一つである圈の閒の函手 (共變函手 (covariant functor)) である 對象の對應$ f(*)=*'
射の對應$ f(a)=a'
射の合成を保つ$ f(a;b)=f(a);f(b)
恆等射を保つ$ f(1)=1'
全ての射が同型射 (逆射を持つ) であればこれは群である 臺集合$ Mの要素を對象とする
射は恆等射のみで好い。使はないので他に射が有っても好い 結合律子は結合律$ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)である 左右の單位律子は單位律$ 1\cdot a=a,$ a\cdot 1=aである 直積は雙函手$ {\bf Set}\times{\bf Set}\to{\bf Set}である 對象の對應
集合$ A=\{a,…\},$ B=\{b,…\}に對して直積$ A\times B=\{(a,b),…\}を對應させる 射の對應
寫像$ f:A\to C,$ g:B\to Dに對して寫像$ (f\times g)((a,b))=(f(a),g(b)):A\times B\to C\times Dを對應させる
射$ f\times g:A\times B\to C\times D,$ h\times i:C\times D\to E\times Fの合成は$ ((f\times g);(h\times i))((a,b))=((f;h)(a),(g;i)(b))で與へる
射の合成の結合を保つ
.$ (((f\times g);(h\times i));(j\times k))((a,b))=
$ (j\times k)((f;h)(a),(g;i)(b))=
$ (((f;h);j)(a),((g;i);k)(b))=
$ ((f;(h;j))(a),(g;(i;k))(b))=
$ ((h\times i);(j\times k))(f(a),g(b))=
$ ((f\times g);((h\times i);(j\times k)))((a,b))
恆等射を保つ$ (id_A\times id_B)((a,b))=(id_A(a),id_B(b))=(a,b)=id_{A\times B}((a,b)) 單元集合$ \{*\},$ \{*'\}の閒には唯一つの寫像$ f(*)=*'が在る。この逆寫像は$ f^{-1}(*')=*であり、$ (f;f^{-1})(*)=f^{-1}(*')=*=id_*(*),$ (f^{-1};f)(*')=f(*)=*'=id_{*'}(*')であるから$ f,$ f^{-1}は同型射である。故に$ \{*\},$ \{*'\}は同型であり、全ての單元集合は同型である 函手$ F:({\bf Set}\times{\bf Set})\times{\bf Set}\to{\bf Set},F(((a,b),c))=((a,b),c),F((f\times g)\times h)=(f\times g)\times h,$ G:{\bf Set}\times({\bf Set}\times{\bf Set})\to{\bf Set},G((a,(b,c)))=(a,(b,c)),G(f\times(g\times h))=f\times(g\times h)の閒の自然變換$ \alpha:((x,y),z)\simeq(x,(y,z))を結合律子と出來、自然同型である $ \alphaは自然變換である。$ F((f\times g)\times h);\alpha=\alpha;G(f\times(g\times h)) $ \alphaの成分 (component) は同型射である。$ \alpha(((x,y),z))=(x,(y,x))に對して$ \alpha^{-1}((x,(y,z)))=((x,y),z)である 函手$ F:{\bf Set}\to{\bf Set},F(A)=\{*\}\times A,F(f)=id_{\{*\}}\times f,$ id_{\bf Set}:{\bf Set}\to{\bf Set}の閒の自然變換$ snd((*,-))=-を左單位律子と出來、自然同型である $ sndは自然變換である。寫像$ f:A\to B,f(a)=bの時、$ (F(f);snd_B)((*,a))=((id_{\{*\}}\times f);snd_B)((*,a))=snd_B((*,b))=b=f(a)=(id_{\bf Set}(f))(a)=(snd_A;id_{\bf Set}(f))((*,a)) $ sndの成分は同型射である。$ snd^{-1}(-)=(*,-)である 函手$ F:{\bf Set}\to{\bf Set},F(A)=A\times\{*\},F(f)=f\times id_{\{*\}},$ id_{\bf Set}:{\bf Set}\to{\bf Set}の閒の自然變換$ fst((-,*))=-を右單位律子と出來、自然同型である $ sndと同樣
$ ((A\times B)\times C)\times D\to_{\alpha\times id}(A\times(B\times C))\times D,
$ (A\times(B\times C))\times D\to_\alpha A\times((B\times C)\times D),
$ A\times((B\times C)\times D)\to_{id\times\alpha}A\times(B\times(C\times D)).
$ ((A\times B)\times C)\times D\to_\alpha(A\times B)\times(C\times D),
$ (A\times B)\times(C\times D)\to_\alpha A\times(B\times(C\times D)).
$ \alphaが順番を入れ換へるだけなので、始域・終域が合ってゐれば可換
$ (A\times\{*\})\times B\to_\alpha A\times(\{*\}\times B),
$ A\times(\{*\}\times B)\to_{id\times snd}A\times B.
$ (A\times\{*\})\times B\to_{fst\times id}A\times B.
見て解って
二項演算$ \cdot:M\times M\to Mを乘法とする
單元集合から單位への射$ \eta:\{*\}\to1を單位射とする
$ ((a,b),c)\to_\alpha (a,(b,c))\to_{id\times\cdot}(a,b\cdot c)\to_\cdot a\cdot(b\cdot c).
$ ((a,b),c)\to_{\cdot\times id}(a\cdot b,c)\to_\cdot(a\cdot b)\cdot c.
$ \cdotは monoid の積だと前提してゐるので$ a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot cであるから、これは可換 單位律子圖式
$ (\{*\},1)\to_{\eta\times id}(1,1)\larr_{id\times\eta}(1,\{*\}),
$ (1,1)\to_\cdot1.
$ (\{*\},1)\to_{snd}1\larr_{fst}(1,\{*\}).
monoid 準同型$ f:(M,\cdot,1=cod(\eta))\to(M',\cdot',1'=cod(\eta'))は monoid 射である 乘法の保存$ (\cdot;f)((a,b))=f(a\cdot b)=f(a)\cdot'f(b)=((f\times f);\cdot')((a,b))
單位射の保存$ (\eta;f)(\{*\})=f(1)=1'=\eta'(\{*\})
二項演算は乘法$ \mu:M\times M\to M
單位は單位射の終域$ cod(\eta)=\eta(\{*\})\in M
五角形の可換圖式$ ((a,b),c)\to_\alpha (a,(b,c))\to_{id\times\mu}(a,\mu((b,c)))\to_\mu\mu((a,\mu((b,c)))),$ ((a,b),c)\to_{\mu\times id}(\mu((a,b)),c)\to_\mu\mu((\mu((a,b)),c))に依り$ \mu((a,\mu((b,c))))=\mu((\mu((a,b)),c)) 單位律子圖式に依り
$ (*,a)\to_{\eta\times id}(cod(\eta),a)\to_\mu\mu((cod(\eta),a)),$ (*,a)\to_{snd}a依り$ \mu((cod(\eta),a))=a
$ (a,*)\to_{id\times \eta}(a,cod(\eta))\to_\mu\mu((a,cod(\eta))),$ (a,*)\to_{fst}a依り$ \mu((a,cod(\eta)))=a
monoid 射$ f:(M,\mu,\eta)\to(M',\mu',\eta')は monoid 準同型である 結合を保つ$ f(\mu((a,b)))=(\mu;f)((a,b))=((f\times f);\mu')((a,b))=\mu'((f(a),f(b)))
單位を保つ$ f(cod(\eta))=(\eta;f)(\{*\})=\eta'(\{*\})=cod(\eta')