圈
category
等式公理による定義
圈$ \bf Cとは、對象 (object) の類 (class)$ |{\bf C}|と射 (morphism。arrow) の類 (class)$ {\rm Hom}_{\bf C}で、以下の公理を滿たすもの 射$ fは 域 (domain。source)$ {\rm dom}(f)\in|{\bf C}|と餘域 (codomain。target)$ {\rm cod}(f)\in|{\bf C}|を持つ
$ {\rm dom}(f)=aかつ$ {\rm cod}(f)=bの時$ f:a \to bと書く
射$ f,$ gは$ {\rm cod}(f)={\rm dom}(g)ならば合成射$ f;g\in{\rm Hom}_{\bf C}を持つ $ f;g(圖式順) を$ g\circ f(反圖式順) とも書く。どちらも$ \cdot\xrightarrow{f}\cdot\xrightarrow{g}\cdotの合成を指す
單に$ f;g;hと書く
全ての對象$ \forall a\in|{\bf C}|に對して恆等射$ \exist{\rm id}_a:a\to aが在り、全ての$ aへの射$ \forall f:-\to aに對して$ f;{\rm id}_a=fが、全ての$ aからの射$ \forall f:a\to -に對して$ {\rm id}_a;f=fが成り立つ 射のみを使った定義
$ {\rm Hom}_{\bf C}を類 (class) として、組$ ({\rm Hom}_{\bf C},{\rm dom},{\rm cod},;)は以下を滿たすならば圈である $ f\in{\rm Hom}_{\bf C}ならば$ {\rm dom}(f)\in{\rm Hom}_{\bf C}
$ f\in{\rm Hom}_{\bf C}ならば$ {\rm cod}(f)\in{\rm Hom}_{\bf C}
$ f\in{\rm Hom}_{\bf C}ならば$ {\rm dom}({\rm dom}(f))={\rm dom}(f)
$ f\in{\rm Hom}_{\bf C}ならば$ {\rm cod}({\rm dom}(f))={\rm dom}(f)
$ f\in{\rm Hom}_{\bf C}ならば$ {\rm dom}({\rm cod}(f))={\rm cod}(f)
$ f\in{\rm Hom}_{\bf C}ならば$ {\rm cod}({\rm cod}(f))={\rm cod}(f)
合成射$ f,g\in{\rm Hom}_{\bf C}かつ$ {\rm cod}(f)={\rm dom}(g)ならば$ f;g\in{\rm Hom}_{\bf C} 結合律$ f,g,h\in{\rm Hom}_{\bf C}かつ$ {\rm cod}(f)={\rm dom}(g)かつ$ {\rm cod}(g)={\rm dom}(h)ならば$ (f;g);h=f;(g;h) $ f\in{\rm Hom}_{\bf C}ならば$ {\rm dom}(f);f=f
$ f\in{\rm Hom}_{\bf C}ならば$ f;{\rm cod}(f)=f
多重有向 graph (multidigraph。箙 (quiver)) の path 同値關係による定義 圈とは，邊集合上に monoid っぽい構造を持つ多重有向 graph である． 〈graph〉（別称：圈，亜 monoid）≈ 多重有向 graph +（ほぼ）monoid 圈は對象が一つとは限らない monoid である。圈は多種化 (many sortize。亞化 (oidification)) した monoid、卽ち亞 monoid である 圈とは，多重有向 graph の path 上の合同關係による商〈graph〉のことであった． 多重有向 graph (multidigraph)$ (V,E):=\{x\xrightarrow{a}y|x,y\in V,a\in E\}と、monoid を成す path の結合$ \forall a_{\in V}\exist{1_a}_{\in E},$ a;bが在るとする path の同値關係$ =_{\subseteq E\times E}を以下で定める $ x\xrightarrow{a}yと$ x'\xrightarrow{a'}y'に就いて$ a=a'ならば$ x=x'且つ$ y=y'
$ x\xrightarrow{a=a'}y\xrightarrow{b=b'}zならば$ x\xrightarrow{a;b=a';b'}z
函手と呼ぶ準同型$ F:(V,E)\to(V',E'):=({F_V}_{:V\to V'},{F_E}_{:E\to E'})を以下で定める $ x\xrightarrow{a}yならば$ F_V(x)\xrightarrow{F_E(a)}F_V(y)
$ F_V(x)\xrightarrow{1_{F_V(x)}=F_E(1_x)}F_V(x).
$ F_V(x)\xrightarrow{F_E(a)}F_V(y)\xrightarrow{F_E(b)}F_V(z)ならば$ F_V(x)\xrightarrow{F_E(a);F_E(b)=F_E(a;b)}F_V(z)
自由圈 (free category)
wild precategory
對象$ {\rm Object}~C:{\rm Type}
射$ {\rm Map}~C:{\rm Object}~C\to{\rm Object}~C\to{\rm Type}
恆等射$ {\rm identity}~C:(x:{\rm Object}~C)\to{\rm Map}~C~x~x 合成射$ {\rm compose}~C:\{x,y,z:{\rm Object}~C\}\to{\rm Map}~C~y~z\to{\rm Map}~C~x~y\to{\rm Map}~C~x~z $ \text{uni-left}~C:(x,y:{\rm Object}~C)(f:{\rm Map}~C~x~y)\to{\rm compose}~C~({\rm identity}~C~y)~f=f
$ \text{uni-right}~C:(x,y:{\rm Object}~C)(f:{\rm Map}~C~x~y)\to{\rm compose}~C~f~({\rm identity}~C~x)=f
結合律$ {\rm associativity}~C:(x~y~z~w:{\rm Object}~C)(h:{\rm Map}~C~z~w)(g:{\rm Map}~C~y~z)(f:{\rm Map}~C~x~y)\to{\rm compose}~C~({\rm compose}~C~h~g)~f={\rm compose}~C~h~({\rm compose}~C~g~h) 前圈 (precategory)
wild precategory である
Set-豐饒$ (x,y:{\rm Object}~C)\to{\rm IsSet}({\rm Map}~C~x~y)
前圈である
同型射$ \text{id-to-iso}~C~x~y:x=y\to x\simeq y
univalance (Rezk 條件)$ (x,y:{\rm Object}~C)\to{\rm IsEquicalence}(\text{id-to-iso}~C~x~y)
未定義語
項
射
述語
二項述語
$ {\rm dom}(f,g)($ {\rm dom}(f)=g)
$ {\rm cod}(f,g)($ {\rm cod}(f)=g)
つまり$ f:X\to Y:={\rm dom}(f,X)\land{\rm cod}(f,Y)
三項述語
$ {\rm comp}(f,g,h)($ g;f=h)
dom・cod の公理
$ \forall f\exist h({\rm dom}(f,h)\land\forall i({\rm dom}(f,i)\to(h=i)))
$ \forall f\exist h({\rm cod}(f,h)\land\forall i({\rm cod}(f,i)\to(h=i)))
$ \forall f\forall h({\rm dom}(f,h)\to({\rm dom}(h,h)\land{\rm cod}(h,h)))
$ \forall f\exist h({\rm cod}(h,h)\to({\rm cod}(h,h)\land{\rm dom}(h,h)))
$ \forall f,g(\exist i({\rm cod}(f,i)\land{\rm dom}(g,i))\to\exist h({\rm comp}(f,g,h)\land\forall j({\rm comp(f,g,j)\to(j=h)})))
$ \forall f,g,h({\rm comp}(f,g,h)\to(\exist i({\rm cod}(f,i)\land{\rm dom}(g,i))\land(\exist i({\rm dom}(h,i)\land{\rm dom}(f,i))\land\exist i({\rm cod}(h,i)\land{\rm cod}(g,i)))))
$ \forall f,g,h,j,k,m({\rm comp}(f,g,j)\land{\rm comp}(g,h,k)\to({\rm comp}(j,h,m)\lrarr{\rm comp}(f,k,m)))
$ \forall f(\forall h({\rm dom}(f,h)\to{\rm comp}(h,f,f))\land\forall h({\rm cod}(f,h)\to{\rm comp}(f,h,f)))
形式的圈論 (format cathegory theory)
米田 structure を使った定式
proarrow equipment を使った定式
Lax-idempotent pseudomonad (KZ-doctrines) を使った定式
ETCC (elementary theory of the category of categories)
對象と射に依って定義されるもの
射は寫像
0-射しか持たない、故に 1 以上の n-射は恆等 n-射しか持たない圈とも見做せる
對象をただ一つ持つ
詰まり、全ての$ \forall f \in \bf Homに對して$ \exist f^{-1} \in \bf{Hom}が存在し$ f;f^{-1}=f^{-1};f={\rm id}を滿たす
對象は要素
射は要素の關係$ \leq
中可換圈 (medial category)
一般化
高次圈 (higher category)
嚴密 n-圈 (strict n-category)
嚴密 1-圈
嚴密 n-圈
嚴密 n-函手
globe
globular set
嚴密 ω-圈
弱 n-圈 (weak n-category)
弱 2-圈 (weak 2-category。雙圈 (bicategory)) 弱 3-圈 (weak 3-category。tricategory)
弱 4-圈 (weak 4-category。tetracategory)
弱 n-圈 (weak n-category)
n-函手
lax n-函手
(n×k)-圈
n-重圈 (n-fold category)
雙圏 (弱 2-圈) の槪念は豐饒化 (enrichment) (豐饒圈) によって得られるのに對し、二重圈の槪念は內部化 (internalization) (內部圈) によって得られる。より嚴密に言へば、二重圈とは$ \bf Cat(大まかに言へば圈の對象) 內に內部化された圈である。 垂直射 (vertical morphism)、水平射 (horizontal morphism)、2-射 (2-morphism) を持つ圈 $ D_0の對象を對象$ x_0,x_1,y_0,y_1,\dotsとする
$ D_0の射を垂直射$ \alpha_0,\alpha1,\dotsとする
$ D_1の對象を水平射$ f,g,\dotsとする
$ D_1の射を 2-射 (2-胞)$ \phi,\dotsとする
圖式$ \begin{CD}x_0 @>f>> x_1 \\ @V\alpha_0VV @VV\alpha_1V \\ y_0 @>>g> y_1\end{CD}で 2-射$ \phi:f\Rarr gを有つ
多對多
多對一
一對多
餘 operad (cooperad)
もう諦めない圈論入門