圈論に於ける同型や同値の槪念
對象$ a,bが同型であるとは、射$ f:a\to bと射$ g:b\to aが有り、$ f\circ g={\rm id}_a且つ$ g\circ f={\rm id}_bを滿たす事を言ふ。$ gを$ f^{-1}と書く、又は$ fを$ g^{-1}と書く。$ f,gを同型射 (isomorphism) と呼ぶ。 代數構造を保つ寫像
臺集合だけでは準同型は定まらない。代數構造が定まると準同型が定まる$ \iff準同型が定まると代數構造が定まる 逆寫像が有りそれも準同型であれば、同型であると言ふ 自己準同型 (endomorphism) の集まりから自然に誘導される環 述語 (predicate)$ Pを滿たす對象が同型を除いて一意とは、$ \forall x,y\in \lbrace x|P(x)\rbraceに對して$ xと$ yが同型である事を言ふ 等式ではない
自然變換$ \etaが自然同型であるとは、$ \etaを構成する射 (成分 (component)) が全て同型射である事を言ふ 圈同型 (isomorphism of categories) 圈$ C,Dが圈同型であるとは、函手$ F:C\to D,$ G:D\to Cが有り$ F\circ G=I_C,$ G\circ F=I_Dを滿たす事を言ふ。$ I_C,I_Dは恆等函手 圈同値 (equivalence of categories) 圈$ C,$ Dと函手$ F:C\to D,$ G:D\to Cが圈同値であるとは、恆等函手への自然同型$ \epsilon:F\circ G\to I_D,$ \eta:G\circ F\to I_Cが在る事を言ふ 隨伴對$ F\dashv Gが在る時、函手$ F,$ Gが充滿且つ忠實であればこれらは圈同値 函手$ F:C\to Dが充滿 (full) であるとは、$ \forall X,Y\in |C|に對して$ C(X,Y)\to D(F(X),F(Y))が全射 (surjective) である事を言ふ 函手$ F:C\to Dが忠實 (faithful) であるとは、$ \forall X,Y\in |C|に對して$ C(X,Y)\to D(F(X),F(Y))が單射 (injective) である事を言ふ 充滿且つ忠實
函手$ F:C\to Dが本質的全射 (essentially surjective、dense) であるとは、全ての$ \forall d\in|D|に對して$ \exist c\in|C|が存在し$ Fcと$ dが同型である事を言ふ