加群
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$ (G,\cdot,1)を群として、左 G-加群$ Mとは以下を滿たすものを言ふ 以下を滿たす群作用$ G\times M\to Mを持つ 群作用であるから、結合律$ (g\cdot h)a=g(ha)と單位律$ 1a=aが要求される 群には演算が一つしか無いので右分配律は定義されない $ (R,+_R,\cdot,0_R,1)を環として、左 R-加群$ Mとは以下を滿たすものを言ふ。$ _RMとも書く 以下を滿たす scalar 乘法 (環作用)$ R\times M\to Mを持つ
右 R-加群$ M_Rも同樣に定める
$ Mが左 R-加群でかつ右 R-加群であれば、兩側 R-加群$ Mと言ふ 可換環上では左右の R-加群は兩側 R-加群である。單に R-加群とも言ふ $ (K,+_K,\cdot,0_K,1)を體として、體上の線形代數$ Vとは以下を滿たすものを言ふ 以下を滿たす scalar 乘法 (體作用)$ K\times V\to Vを持つ
例
$ Rを加群の scalar 集合として、全ての R-左加群を對象とし、準同型を射とする圈を R-左加群の圈と言ひ$ _R{\bf Mod}と書く (R,S)-兩側加群の圈を$ _R{\bf Mod}_Sと書く 特に$ Rが可換な構造ならば$ _R{\bf Mod}={\bf Mod}_R=~_R{\bf Mod}_Rであり、單に R-加群の圈と言ふ 直和 (direct sum)$ \oplus
加群$ Mが加群$ Nの部分加群$ M\subseteq Nであって、任意の$ Nの部分加群$ H_{\subseteq N}に對して$ H\cap M=0ならば$ H=0であるならば、$ Mは$ Nの本質部分加群$ M\subseteq_e Nであると言ひ、$ Nは$ Mの本質擴大 (essential extension) であると言ふ 餘剩部分加群 (superfluous submodule) 加群$ Mが加群$ Nの部分加群$ M\subseteq Nであって、任意の$ Nの部分加群$ H_{\subseteq N}に對して$ M+H=Nならば$ H=Nであるならば、$ Mは$ Nの餘剩部分加群$ M\subseteq_s Nであると言ふ 自由 (free)
平坦 (flat)
平坦對象 (flat object)
? abelsk 圈に於いて tensor 積$ \_\otimes Fが完全函手であれば、$ Fを平坦對象と呼ぶか?
monoidal 圈作用