群作用
group action
群$ (G,\cdot,e,g^{-1})と集合$ Xについて、 以下を滿たす二項演算$ G\times X\to X,$ (g,x)\mapsto gxを左群作用 (left group action) と言ふ
$ (g\cdot h)x=g(hx)
$ ex=x
以下を滿たす二項演算$ X\times G\to X,$ (x,g)\mapsto xgを右群作用 (right group action) と言ふ
$ x(g\cdot h)=(xg)h
$ xe=x
左右の群作用は互ひに變換できるので、どちらかだけ考へればいい $ Xを「G-集合」、$ G\times X\to Xを「G-作用」と呼ぶ
群作用$ G\times X\to Xと$ G\times Y\to Yについて、射$ f:X\to Yを$ f(gx)=gf(x)を滿たす寫像として考へられる。この射を「G-寫像」と呼ぶ 群の自身への群作用$ G\times G\to G 左からの作用$ gx
右からの作用$ xg
內部自己同型$ g^{-1}xg。$ x^gとも書く
要素$ x\in Xの固定部分群 (stabilizer subgroup。安定化部分群。等方部分群 (isotropy group)。小群 (little group))$ G_x:=\{g|g\in G,gx=x\}
群作用$ G\times X\to Xに就いて、$ Xの部分集合$ Y\subseteq Xへの群作用$ GY:=\{gy|g\in G,y\in Y\}が$ GY=Yであれば「$ Yに於いて安定 (不變 (invariant))」であると言ふ 群作用$ G\times X\to Xに就いて、$ Xの部分集合$ Yに於いて$ \forall y_{\in Y}\forall g_{\in G}(gy=y)であれば「$ Yが$ Gの作用で固定される (fixed)」「$ Gが$ Yに自明に作用する」と言ふ 推移的 (transitive)$ (X\ne\varnothing)\land\forall x_{\in X}(Gx=X)
忠實 (faithful。效果的 (effective))
$ \forall g,h_{\in G}(g\ne h\to\exist x_{\in X}(gx\ne hx))
同値な定義$ \forall g_{\in G-\{e\}}\exist x_{\in X}(gx\ne x)
自由 (free。半正則 (semiregular))
$ \forall x_{\in X}(gx=hx\leftrightarrow g=h)
同値な定義$ \forall x_{\in X}(gx=x\to g=e)
同値な定義。任意の固定部分群が自明である$ \forall x_{\in X}(G_x=\{e\})
$ X\ne\varnothingであれば、自由な群作用は忠實である 正則 (regular。單純推移的 (simply transitive))
自由かつ推移的
同値な定義 (銳󠄀推移的 (sharply transitive))$ \forall y_{\in X}\exist!g_{\in G}(gx=y)
主等質空閒 (principal homogeneous space) を定める