群作用
group action
群$ (G,\cdot,e,g^{-1})と集合$ Xについて、 以下を滿たす二項演算$ G\times X\to X,$ (g,x)\mapsto gxを左群作用 (left group action) と言ふ
$ (g\cdot h)x=g(hx).
$ ex=x.
以下を滿たす二項演算$ X\times G\to X,$ (x,g)\mapsto xgを右群作用 (right group action) と言ふ
$ x(g\cdot h)=(xg)h.
$ xe=x.
左右の群作用は互いに變換できるので、どちらかだけ考へればいい
$ Xを「G-集合」、$ G\times X\to Xを「G-作用」と呼ぶ
群作用$ G\times X\to Xと$ G\times Y\to Yについて、射$ f:X\to Yを$ f(gx)=gf(x)を滿たす寫像として考へられる。この射を「G-寫像」と呼ぶ 群の自身への群作用$ G\times G\to G 左からの作用$ gx
右からの作用$ xg
內部自己同型$ g^{-1}xg。$ x^gとも書く
要素$ x\in Xの固定部分群 (stabilizer subgroup)$ G_x:=\{g\in G|gx=x\}
群作用$ G\times X\to Xに就いて、$ Xの部分集合$ Y\subseteq Xへの群作用$ GY:=\{gy|g\in G,y\in Y\}が$ GY=Yであるなら「$ Yに於いて安定 (不變 (invariant))」であると言ふ。 推移的 (transitive)$ (X\ne\varnothing)\land\forall x_{\in X}(Gx=X)
忠實 (faithful。效果的 (effective))
$ \forall g,h_{\in G}(g\ne h\to\exist x_{\in X}(gx\ne hx)).
同値な定義$ \forall g_{\in G-\{e\}}\exist x_{\in X}(gx\ne x)
同値な定義。對稱群への準同型$ G\to{\rm Sym}(X)の核が自明である 自由 (free。半正則 (semiregular))
$ \forall x_{\in X}(gx=hx\leftrightarrow g=h).
同値な定義$ \forall x_{\in X}(gx=x\to g=e)
同値な定義。任意の固定部分群が自明である$ \forall x_{\in X}(Gx=\{e\})
$ X\ne\varnothingであれば、自由な群作用は忠實である 正則 (regular。單純推移的 (simply transitive))
自由かつ推移的
同値な定義 (銳󠄀推移的 (sharply transitive))$ \forall y_{\in X}\exist!g_{\in G}(gx=y)
主等質空閒 (principal homogeneous space) を定める