集合
set。Menge。ensemble
集合論
素樸 (naive) v.s. 公理的 (axiomatic)
foundational (基礎論的) v.s. definitional
constructive (構成可能) v.s. classical
material v.s. structural
公理系
limitation of size
A class$ Ais a set if and only if there is no bijection between$ Aand the class$ Vof all sets.
KIF の集合論
置換公理圖式や分出公理圖式に替へて、$ x\in\{\nu|\varphi(\nu)\}\iff{\rm bounded}(x)\land\varphi_{\nu/x} bounded
Something is bounded if it can be a member of a set. This is a KIF primitive.
Something in the universe of discourse that can't be a member of a set. Paradoxical beasts go here.
Morse-Kelley 集合論
ZFA (ZF with atoms)
原始元 (atom。urelement)
$ Aを原始元の集まりとする。$ \forall z(z\in A\lrarr(z\ne\varnothing\land\neg\exist x(x\notin z)))
$ {\rm Set}:=\{x|x\notin A\}
新基礎 (NF。new foundations)
NF with urelements (NFU)
非有基的集合論
Aczel の超集合論
1 はじめに
1.2 タイプ理論
2 超集合論 ZFC-/AFA
2.1 特殊終餘代數定理 (Special Final Coalgebra Theorem) 3 おわりに
ラッセルはホワイトヘッドとの共著プリンキピアマテマティカ序論, の中で惡循環について次のやうに述べてゐる． 不當な全體 (illegitimate totality) を排除するための原理は，次のやうに述べられる．「或る集まりのすべての成員を含むものは，何であれ，その集まりの一員であってはならない」．あるいは逆に，「或る集まりが，全體を持つと假定するとその全體によってしか定義できないような要素を含むことになってしまふ場合，その集まりは全體を持たない」．これを「惡循環原理 (Vicious-circle principle)」と呼ばう．その原理によって，不當な全體の假定に含まれる惡循環を囘避することができるからである． (第二章 論理的タイプの理論, ページ 130 からの引用．) この惡循環原理によれば, 全體はその要素となることはできない. たとえば,$ x=\lbrace x\rbraceなる集合の存在は許されない. しかし, 循環を積極的に認める集合論も可能であることは知られていた．近年，無限に持續するプロセスや自己參照的狀況の直接的モデルとして，循環的な集合の意義と有用性が認められ，データベースの更新モデルなど多くの應用が見い出されてゐる． 循環集合を認めない集合論 ZFC が標準になった理由の一つは，集合のメンバシップ關係に基づく歸納的 (inductive) 證明が使えることがその主な理由のひとつであろう．つまり超限歸納法といふ武器が集合の構造の硏究に使へることが大きい．$ x=\lbrace x\rbraceなる集合があると，もはや歸納法は無條件では使へない．言ひ替へると，ZFC 集合論の世界は，確實なものから一段一段と確實に構成していく，いはば文字どおり足が地についた (well-founded) な世界であり，循環構造とは無緣である． 一方，歸納法の雙對である餘歸納的 (co-inductive) 構成は，トップダウン的な確認の論理であり，對象が地に足がついてゐるかどうかには關心がない．すなはち循環構造をも受け入れる論理である．しかしながら，その循環性の論理による統制は，歸納的構成の場合とおなじくらいに堅固である．このことは歸納法と餘歸納法の閒に「雙對性」が成り立つことがその根據である．Boolean 代數である定理が成り立てば，その雙對の定理も成り立つという良く知られた雙對性定理というメタ定理の類似である．餘歸納法は，「惡循環」ではない，「正しい循環」のために論理といえよう． ラッセルは，惡循環原理は提案したが，「正しい循環の原理」についてはなにも語っていないないようである．ラッセルには無視されたかに見える正しい循環の論理はもっと見直されてもよいのではないかという思いから，Aczel の超集合論の基本的な部分をこの機會に復習したい． 非古典論理
Gris̆in の集合論 (Gris̆in's set theory)
無制限の包括原理を假定しても矛盾しない
BCK 集合論
無制限の包括原理を假定しても矛盾しない
超準解析
sorted
material set theory
structural set theory
local set theory
宇宙 (universe)
$ L_0:=\varnothing,$ L_\alpha:=\bigcup_{\beta<\alpha}{\rm Def}(L_\beta),$ L:=\bigcup_{\alpha\in{\rm On}}L_\alpha
$ {\rm Def}(X)は、$ Xの要素によって集合論上で可能な一階の論理式によって定義可能な全ての集合の族 構成可能集合論
代數的集合論
非形式的な表示$ V=\{x|x=x\}
$ V_0:=\varnothing,$ V_\alpha:=\bigcup_{\beta<\alpha}{\cal P}(V_\beta),$ V:=\bigcup_{\alpha\in{\rm On}}V_\alpha
$ \varnothing\in U
$ x\in Uかつ$ y\in xならば$ y\in U
$ x\in Uならば$ 2^x\in U
$ I\in Uならば$ x:I\to Uに對して$ \bigcup_{i\in I}x_i\in U
Tarski-Grothendieck 集合論
集合の代數
演算
結び (和集合。合併)$ A\cup B
交はり (共通部分。交叉)$ A\cap B
非交和$ A\sqcup B
補集合$ A^C
差集合$ A\setminus B
對稱差$ A\Delta B
關係$ =,$ \subset,$ \subseteq,$ \in
集合$ Sの部分集合の族$ \Sigma\subseteq 2^Sは以下を滿たすならば集合半環である $ \varnothing\in\Sigma
$ A,B\in\Sigmaならば$ \exist C_1,\dots,C_n~_{\in\Sigma}(A\setminus B=\bigsqcup_i^n C_i)
$ A,B\in\Sigmaならば$ A\cap B\in\Sigma
集合環
集合$ Sの部分集合の族$ \Sigma\subseteq 2^Sは以下を滿たすならば集合環である $ \Sigma\ne\varnothing
$ A,B\in\Sigmaならば$ A\cup B\in\Sigma
$ A,B\in\Sigmaならば$ A\setminus B\in\Sigma
$ A\setminus A=\varnothing\in\Sigma
集合環は對稱差と交はりに關して閉じてゐる
σ-集合環
δ-集合環
加法族 (additive class。additive family。集合代數 (algebra of sets。algebra over a set))
集合$ Sの部分集合の族$ \Sigma\subseteq 2^Sは以下を滿たすならば有限加法族である $ A,B\in\Sigmaならば$ A\cup B\in\Sigma
$ A\in\Sigmaならば$ A^C\in\Sigma
$ \varnothing\in\Sigma
集合$ Sの部分集合の族$ \Sigma\subseteq 2^Sは以下を滿たすならば有限加法族である $ A,B\in\Sigmaならば$ A\cap B\in\Sigma
$ A,B\in\Sigmaならば$ A\Delta B\in\Sigma
$ S\in\Sigma
完全加法族 (σ-加法族。σ-集合體。σ-集合代數。σ-代數) 集合$ Sの部分集合の族$ \Sigma\subseteq 2^Sは以下を滿たすならば完全加法族である $ \Sigma\ne\varnothing
$ A\in\Sigmaならば$ A^C\in\Sigma
可算個の結びについて閉じてゐる$ A_1,A_2,\dots\in\Sigmaならば$ \bigcup_i A_i\in\Sigma
可算個の交はりについても閉じてゐる$ A_1,A_2,\dots\in\Sigmaならば$ \bigcap_i A_i\in\Sigma
$ \varnothing,S\in\Sigma
$ (S,\Sigma)を可測空閒 (measurable space) と呼ぶ borélienne 集合族
-1 圈
擴張
量子集合論 (quantum set theory)