基數
cardinal number
濃度 (cardinality)
基數詞 (cardinal numeral)
定義
ZFC では
順序數$ \alphaの濃度$ |\alpha|の始順序數が$ \alpha自身であるものを基數と呼ぶ 始順序數 (initial ordinal)
ZF では
Scott の trick
極限基數
$ \aleph_0:=|\N|=\omega
後續順序數$ \alpha+1に對して$ \aleph_{\alpha+1}:={\aleph_\alpha}^+=|\{\beta|\beta\in{\bf On},|\beta|\le|\aleph_\alpha|\}|
極限順序數$ \lambdaに對して$ \aleph_\lambda:=\bigcup_{\beta<\lambda}\aleph_\beta
$ \beth_0:=\aleph_0
$ \beth_{\alpha+1}:=2^{\beth_\alpha}
$ \beth_1=|\R|
$ \beth_\lambda:=\sup\{\beth_\alpha|\alpha<\lambda\}
正則基數 (regular cardinal)$ {\rm cf}(\alpha)=\alpha 順序數$ \alphaが自身の共終數と等しい$ {\rm cf}(\alpha)=\alphaならば$ \alphaは正則であると言ふ。この時$ \alphaは基數でもあって、これを正則基數と呼ぶ 例
可算な基數とその後續基數$ \aleph_0,\aleph_1,\dots ←→特異基數 (singular cardinal)$ {\rm cf}(\alpha)\ne\alpha
巨大基數
到達不能基數 (inaccessible。強到達不能基數 (strongly inaccessible)) compact 基數
弱 compact 基數 (weakly compact cardinal)
強 compact 基數 (strongly compact cardinal)
超 compact 基數 (supercompact cardinal)
可測基數 (measurable cardinal) 擴張可能基數 (extendible cardinal)
描寫不能基數 (indescribable cardinal)
展開可能基數 (unfoldable cardinal)
反復可能基數 (iterable cardinal)
強力基數 (strong cardinal)
超強力基數 (superstrong cardinal)