順序數
ordinal number
序數詞 (ordinal numeral)
$ x\in Xかつ$ a\in xならば$ a\in X
$ x<yを$ x\in yで定義すると、$ (X,<)は整列順序になる
整列順序 (wellorder)
$ x\cancel< x
$ x<yかつ$ y<zならば$ x<z
空でない部分集合$ Y_{\subset X}には最小限$ \min Yが存在する
順序型 (order type)
順序數の大小$ \alpha\le\betaを$ \alpha\in\betaで定義すると、順序數の全體は整列される von Neumann の割り當て
$ 0:=\varnothing
後者$ S(\alpha):=\alpha\cup\{\alpha\}
$ 0=\{\}
$ 1=\{\{\}\}
$ 2=\{\{\},\{\{\}\}\}
上限$ \sup X:=\min\{\beta|\beta\in{\rm ON},\forall\alpha_{\in X}(\alpha<\beta)\}=\bigcup_{\alpha\in X}\alpha
$ \omega:=\sup\N
$ \alpha=\{\beta|\beta\in{\rm ON},\beta<\alpha\}
共終數 (cofinality)$ {\rm cf}(\alpha) $ {\rm cf}(\alpha):=\inf\{|B|~|B\subseteq A,\forall x_{\in A}\exist y_{\in B}(x\le y)\}
部分集合$ S\subseteq\alphaが$ \sup S=\alphaである、卽ち$ \forall \beta_{<\alpha}\exist s_{\in S}~\beta\le sならば共終 (cofinal) であると言ふ
定義 1
$ \alphaと共終な部分集合$ Sの順序型の內で最小のものを$ \alphaの共終數$ {\rm cf}(\alpha)と呼ぶ $ {\rm cf}(\alpha):=\min\{{\rm type}(S,<_S)|S\subseteq\alpha,\sup S=\alpha\}
定義 2
$ f:\beta\to\alphaを增大する單調函數とする。$ fの像が共終である$ \sup{\rm im}(f)=\alphaものを$ \alphaの共終數$ {\rm cf}(\alpha)と呼ぶ $ {\rm cf}(\alpha):=\min\{\beta|f:\beta\to \alpha,fは單調增大函數,\sup{\rm im}(f)=\alpha\}
數學的歸納法 (mathematical induction) $ P(0)かつ、$ P(n)ならば$ P(n+1)
$ \forall m_{<n}P(m)ならば$ P(n)
超限歸納法 (transfinite induction) 「超元氣農法」ではないね (ぉ
0、後者、極限に關する歸納法
整礎歸納法 (well-founded induction。Noetherian 歸納法 (Noetherian induction)) ∈-歸納法 (∈-induction。epsilon-induction。set-induction。axiom schema of set induction) $ \forall x((\forall y_{\in x}\varphi(y))\supset\varphi(x))\supset\forall x~\varphi(x)
累積歸納法