一元體
field with one element$ {\Bbb F}_1,$ {\Bbb F}_{\rm un}
任意の群は一元體上の Hopf 代數である。もっと一般に、代數的對象の圖式として定義されるいかなる對象も、集合の圈において$ {\Bbb F}_1-類似物をもつ。 群は Hopf 代數と同じ圖式 (同じことだが演算) によって公理化できる，ただし G は加群の代はりに集合と取られる．この場合： 對合射は逆元である
一元體上の$ {\Bbb P}^Nのζ函數は$ \zeta(s)=s(s-1)\dots(s-N)である。 一元體の m-次の K-群$ K({\Bbb F}_1)は球 spectre の m-次安定 homotopy 群でなければならない。 置換表現を一元體上の線形表現と看做して表現論の一般論に組み込む試みが見られる。