ζ函數
$ \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac 1{n^s}=\prod_{p\in 素數}\frac 1{1-p^{-s}}=\frac 1{\Gamma(s)}\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx
Riemann 豫想
一般化された Riemann 豫想 (GHR)
擴張された Riemann 豫想 (ERH)
大 Riemann 豫想
深い Riemann 豫想 (deep Riemann hypothesis。DRH)
名前が同じなだけのもの
$ \zeta(a,b):=\begin{cases}1 & a\le b \\ 0 & {\rm otherwise}\end{cases}積分演算子
Möbius 函數$ \mu(x,y):=\begin{cases}1 & x=y \\ -\sum_{x\le z\le y}\mu(x,z) & x<y \\ 0 & {\rm otherwise}\end{cases}微分演算子 Möbius の反轉公式
$ (f*g)(n):=\sum_{d|n}f(d)g\left(\frac n d\right)
$ 1(n)=1を$ \zetaとも書く
Möbius の反轉公式
$ g=f+1\iff f=g*\mu
$ h(x):=\frac 1 x-\lfloor\frac 1 x\rfloorの轉送作用素 (押し出し)$ G $ (Gf)(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac 1{(x+n)^2}f\left(\frac 1{x+n}\right)
L-函數
$ \xi(s)=\xi(1-s),$ \xi(s):=\frac 1 2 s(s-1)\pi^{-\frac s 2}\Gamma\left(\frac s 2\right)\zeta(s)
$ \Xi(s)=\Xi(-s),$ \Xi(s):=\xi\left(\frac 1 2+si\right)