多元環
algebra
$ f(x,-)と$ f(-,y)がどちらも線形寫像
$ f(ax+by,z)=af(x,z)+bf(y,z).
$ f(x,ay+bz)=af(x,y)+bf(x,z).
線形性
加法性$ f(x+y)=f(x)+f(y)
斉一次性$ f(cx)=cf(x)
線形性$ f(\sum^r_{i=1}\lambda_iv_i)=\sum^r_{i=1}\lambda_if(v_i)
多重線形性
多變數函數$ f(x_0,...,x_i,...,x_n)の各引數がそれぞれ線形になる$ f(...,ax_i+by_i,...)=af(...,x_i,...)+bf(...,y_i,...)
例
環上の多元環とは、環$ R上の加群$ Mで且つ、雙線形な積$ \times_M:M\times M\to Mを持ち、$ r\in Rと$ x,y,z\in Mに就いて以下が成り立つ 左分配律$ (x+_My)\times_Mz=x\times_Mz+_My\times_Mz 右分配律$ x\times_M(y+_Mz)=x\times_My+_Mx\times_Mz scalar 律$ (rx)\times_My=r(x\times_My)=x\times_M(ry) 例