雙線形
bilinear
$ U,V,Wをどれも體$ K上の線形空閒とする。以下を滿たす 2 變數函數$ B:U\times V\to Wを雙線形寫像と言ふ 第一引數について線形$ B(a{\bf u}_1+b{\bf u}_2,{\bf v})=aB({\bf u}_1,{\bf v})+bB({\bf u}_2,{\bf v})
第二引數について線形$ B({\bf u},a{\bf v}_1+b{\bf v}_2)=aB({\bf u},{\bf v}_1)+bB({\bf u},{\bf v}_2)
scalar 體への雙線形寫像$ B:V\times V\to Kを雙線形形式と言ふ 退化 (degenerate。特異 (singular))
$ B(\_,\_):V\to V^*,{\bf v}\mapsto B({\bf v},\_)が同型でない雙線形形式$ Bを退化雙線形形式と呼ぶ 有限次元であれば、$ \exist{\bf v}_{\in V}\forall{\bf w}_{\in V}(B({\bf v},{\bf w})=0)となる雙線形形式を退化であると定義できる 非退化 (nondegenerate。非特異 (nonsingular)) $ B(\_,\_):V\to V^*,{\bf v}\mapsto B({\bf v},\_)が同型である雙線形形式$ Bを非退化雙線形形式と呼ぶ 有限次元であれば、$ B({\bf v},{\bf w})=0ならば$ {\bf v}=0または$ {\bf w}=0である雙線形形式を非退化であると言へる $ B:V\times V\to Kを線形空閒$ V上の雙線形形式とする $ Vの要素$ \bf vを決めると、$ B({\bf v},\_),$ B(\_,{\bf v})はそれぞれ線形汎函數になる、卽ち雙對線形空閒の要素となる $ {\bf v}\mapsto B({\bf v},\_)
$ {\bf v}\mapsto B(\_,{\bf v})
雙對線形空閒の部分集合$ W_{\subset V^*}への同型$ f:V\simeq Wは、非退化な雙線形形式$ B:V\times V\to Kと一對一對應する $ B({\bf v},{\bf w})=(f({\bf v}))({\bf w})
$ f({\bf v})=B({\bf v},\_)
雙對對 (雙對組。dual pair。雙對系 (dual system))
半雙線形性 (sesquilinear。準雙線形) $ f(ax+by,z)=a^*f(x,z)+b^*f(y,z)反線形 $ f(x,ay+bz)=af(x,y)+bf(x,z)線形
實 vector$ \in\R^nに對しては雙線形形式である dot 積$ {\bf u}^\top{\bf v}を使ふ 複素 vector$ \in\Complex^nに對しては半雙線形形式である Hermitian 內積$ \overline{\bf u}^\top{\bf v}を使ふ 角度$ \theta=\arccos\frac{\braket{a|b}}{|a||b|}
半正定値性$ \lang v,v\rang\ge 0 dot 積 (dot product。點乘積。標準內積。scalar 積)$ {\bf u}\cdot{\bf v},$ \lang{\bf u},{\bf v}\rang,$ \braket{{\bf u}|{\bf v}},$ {\bf u}^*{\bf v},$ {\bf u}^\top{\bf v},$ u_i v^i $ {\bf u}\cdot{\bf v}=\sum_i u_i v_i=|{\bf u}|~|{\bf v}|\cos\theta
Frobenius 內積$ A:B=\sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}
外積 (exterior product)
體積を導く
cross 積 (cross product。vector 積)$ {\bf u}\times{\bf v},$ \lbrack{\bf u},{\bf v}\rbrack 1 次元では恆等的に$ \bf 0vector になる
$ a_1 i\times b_2 i=-a_1 b_1+0i
3 次元$ {\bf u}\times{\bf v}=\left(\sum_{j,k}\varepsilon_{ijk}a_j b_k\right)_i=(|{\bf u}|~|{\bf v}|\sin\theta){\bf n}
$ (a_1 i+a_2 j+a_3 k)\times(b_1 i+b_2 j+b_3 k)=-(a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3)+(a_2 b_3-a_3 b_2)i+(a_3 b_1-a_1 b_3)j+(a_1 b_2-a_2 b_1)k
scalar 成分$ -(a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3)が dot 積を表す vector 成分$ (a_2 b_3-a_3 b_2)i+(a_3 b_1-a_1 b_3)j+(a_1 b_2-a_2 b_1)kが cross 積を表す 7 次元
$ {\bf u}\times{\bf v}=\star({\bf u}\otimes{\bf v}-{\bf v}\otimes{\bf u})
三重積
wedge 積 (wedge product。楔積)$ {\bf u}\wedge{\bf v} $ \wedge:\bigvee(V)\times\bigvee(V)\to\bigwedge(V)
結合律$ u\wedge(v\wedge w)=(u\wedge v)\wedge w 雙線形性$ (au+bv)\wedge w=a(u\wedge w)+b(v\wedge w),$ u\wedge(av+bw)=a(u\wedge v)+b(u\wedge w) 交代性$ v\wedge v=0
$ u\wedge v=-v\wedge u
一次從屬な$ v_1,\dots,v_n\in Vに對して$ v_1\wedge\dots\wedge v_n=0
外積代數 (exterior algebra。Graßmann algebra)$ \bigwedge(V) 交代性$ j(v)j(v)=0を滿たす代數の內で普遍 (圈論)的なもの$ \begin{CD}V @>i>> \bigwedge(V) \\ @VjVV @VV!\exist fV \\ A @= A\end{CD} 幾何積 (geometric product)$ \bf uv $ uv=-u\cdot v+u\wedge v
$ u\cdot vが scalar 成分、$ u\wedge vが vector 成分と見做せる
$ \sum_{i=1}^n u_i e_i同士の形式的な積
$ uv=(u_1 e_1+u_2 e_2+u_3 e_3)(v_1 e_1+v_2 e_2+v_3 e_3)=(u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3)+(u_2 v_3-u_3 v_2)e_2 e_3+(u_3 v_1-u_1 v_3)e_3 e_1+(u_1 v_2-u_2 v_1)e_1 e_2
$ vu=(v_1 e_1+v_2 e_2+v_3 e_3)(u_1 e_1+u_2 e_2+u_3 e_3)=(v_1 u_1+v_2 u_2+v_3 u_3)+(v_2 u_3-v_3 u_2)e_2 e_3+(v_3 u_1-v_1 u_3)e_3 e_1+(v_1 u_2-v_2 u_1)e_1 e_2
$ e_i e_j: 二重 vector
$ u\wedge v:=\frac{uv-vu}2
幾何代數 (geometric algebra)$ {\cal G}(p,q)
共形幾何代數
$ \begin{CD}V @>i>> Cl(V,Q) \\ @| @VV!\exist fV \\ V @>>j> A\end{CD}
$ Cl(V,0)=\bigwedge(V)
tensor 積$ {\bf u}\otimes{\bf v},$ \ket{\bf u}\bra{\bf v},$ {\bf u}{\bf v}^*,$ {\bf u}{\bf v}^\top 直積 (direct product) とも外積 (outer product) とも呼ぶ (ぉ
任意の雙線形寫像$ h:V\times W\to Zに對して普遍 (圈論)的なもの$ \begin{CD}V\times W @>\otimes>> V\otimes W \\ @VhVV @VV!\exist\tilde hV \\ Z @= Z\end{CD}