雙線形
bilinear
$ U,V,Wをどれも體$ K上の線形空閒とする。以下を滿たす 2 變數函數$ B:U\times V\to Wを雙線形寫像と言ふ $ B(a{\bf u}_1+b{\bf u}_2,{\bf v})=aB({\bf u}_1,{\bf v})+bB({\bf u}_2,{\bf v})
$ B({\bf u},a{\bf v}_1+b{\bf v}_2)=aB({\bf u},{\bf v}_1)+bB({\bf u},{\bf v}_2)
scalar 體への雙線形寫像$ B:V\times V\to Kを雙線形形式と言ふ 退化 (degenerate。特異 (singular))
$ B(\_,\_):V\to V^*,{\bf v}\mapsto B({\bf v},\_)が同型でない雙線形形式$ Bを退化雙線形形式と呼ぶ 有限次元であれば、$ \exist{\bf v}_{\in V}\forall{\bf w}_{\in V}(B({\bf v},{\bf w})=0)となる雙線形形式を退化であると定義できる 非退化 (nondegenerate。非特異 (nonsingular)) $ B(\_,\_):V\to V^*,{\bf v}\mapsto B({\bf v},\_)が同型である雙線形形式$ Bを非退化雙線形形式と呼ぶ 有限次元であれば、$ B({\bf v},{\bf w})=0ならば$ {\bf v}=0または$ {\bf w}=0である雙線形形式を非退化であると言へる $ B:V\times V\to Kを線形空閒$ V上の雙線形形式とする $ Vの要素$ \bf vを決めると、$ B({\bf v},\_),$ B(\_,{\bf v})はそれぞれ線形汎函數になる、卽ち雙對線形空閒の要素となる $ {\bf v}\mapsto B({\bf v},\_)
$ {\bf v}\mapsto B(\_,{\bf v})
雙對線形空閒の部分集合$ W_{\subset V^*}への同型$ f:V\simeq Wは、非退化な雙線形形式$ B:V\times V\to Kと一對一對應する $ B({\bf v},{\bf w})=(f({\bf v}))({\bf w})
$ f({\bf v})=B({\bf v},\_)
雙對對 (雙對組。dual pair。雙對系 (dual system))
半雙線形性 (sesquilinear。準雙線形) $ f(ax+by,z)=a^*f(x,z)+b^*f(y,z)反線形 $ f(x,ay+bz)=af(x,y)+bf(x,z)線形
內積
dot 積 (點乘積。標準內積。scalar 積)$ {\bf u}\cdot{\bf v},$ \braket{{\bf u}|{\bf v}},$ {\bf u}^*{\bf v},$ {\bf u}^\top{\bf v},$ u_i v^i
$ {\bf u}\cdot{\bf v}=\sum_i u_i v_i=|{\bf u}|~|{\bf v}|\cos\theta
Frobenius 內積$ A:B=\sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}
外積
cross 積 (vector 積)$ {\bf u}\times{\bf v},$ \lbrack{\bf u},{\bf v}\rbrack
3 次元$ {\bf u}\times{\bf v}=\left(\sum_{j,k}\varepsilon_{ijk}a_j b_k\right)_i=(|{\bf u}|~|{\bf v}|\sin\theta){\bf n}
7 次元
$ {\bf u}\times{\bf v}=\star({\bf u}\otimes{\bf v}-{\bf v}\otimes{\bf u})
楔積 (wedge 積)$ {\bf u}\wedge{\bf v}
外積代數 (exterior algebra。Graßmann algebra)
幾何積 (geometric product)
幾何學的代數 (geometric algebra)
tensor 積$ {\bf u}\otimes{\bf v},$ \ket{\bf u}\bra{\bf v},$ {\bf u}{\bf v}^*,$ {\bf u}{\bf v}^\top