環
臺集合とその上の演算を使った定義。環 (ring) とは臺集合$ Rと加法と呼ばれる閉じた二項演算$ +:R\times R\to R、乘法と呼ばれる閉じた二項演算$ \cdot:R\times R\to R、$ 0と$ 1と云ふ元の組$ (R,+,\cdot,0,1)であり、以下の律を滿たす。記號の濫用で單に$ Rとも書く 乘法は元$ 1を單位として monoid$ (R,\cdot,1)を成す 左分配律$ a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c) 右分配律$ (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c) 加法の單位$ 0が乘法に關して吸收的である$ 0\cdot a=0=a\cdot0事を示せるので、乘法$ \cdotは加法$ +の成すabelsk 群の群準同型である 性質
加法の單位$ 0は乘法に關して吸收的である$ 0\cdot a=0=a\cdot0
乘法の單位$ 1の加法逆元$ -1に就いて、$ (-1)\cdot a=-a
$ (-a)\cdot(-b)=a\cdot b.
環に乘法の可換律を課せば可換環 (commutative ring) と成る 零環$ \{0\}(the zero ring、自明環 (trivial ring)) ではなく零因子を持たない$ x\cdot y=0\to x=0\lor y=0可換環は整域 (integral domain) である 可換環で、$ 0以外の元に可逆律を課せば體 (field) と成る。體は$ 0以外の元が乘法に關して群を成す 環$ (R,+,\cdot,0,1),$ (R',+',\cdot',0',1')の閒の演算を保つ寫像$ f:R\to R'を環準同型と言ふ 加法を保つ$ f(a+b)=f(a)+'f(b)
乘法を保つ$ f(a\cdot b)=f(a)\cdot'f(b)
乘法の單位を保つ$ f(1)=1'
加法の單位を保つ$ f(0)=0'事は群の公理から自動で從ふ また分配律も當然保たれる$ f(a\cdot(b+c))=(f(a)\cdot'f(b))+'(f(a)\cdot'f(c)),$ f((a+b)\cdot c)=(f(a)\cdot'f(c))+'(f(b)\cdot'f(c)) 整域 (integral domain)
合同類環 (剩餘類環)
零因子 (zero divisor)←→正則 (regular) 左
元$ r_{\in R}が$ \exist s_{\in R\setminus\{0\}}(rs=0)であれば左零因子 (left zero divisor) であると言ふ 元$ r_{\in R}が左零因子でない$ \forall s_{\in R\setminus\{0\}}(rs\ne 0)ならば左正則 (left regular。left cancellable。左非零因子 (left non-zero-divisor)) であると言ふ 右
元$ r_{\in R}が$ \exist s_{\in R\setminus\{0\}}(sr=0)であれば右零因子 (right zero divisor) であると言ふ 元$ r_{\in R}が右零因子でない$ \forall s_{\in R\setminus\{0\}}(sr\ne 0)ならば右正則 (left regular。left cancellable。右非零因子 (right non-zero-divisor)) であると言ふ 兩側
元が左零因子でかつ右零因子でもあれば兩側零因子 (two-sided zero divisor) であると言ふ 元が左正則でかつ右正則でもあれば正則 (regular。cancellable。非零因子 (non-zero-divisor)) であると言ふ 鎖
降鎖條件 (DCC。descending chain condition)