局所環
local ring
環$ Rが局所環であるとは、以下の同値な條件のいづれかが滿たされる事を言ふ $ 0\ne 1かつ、$ x+y=1であれば$ (\exist x^{-1})\lor(\exist y^{-1})
$ 0\ne 1かつ、$ (!\exist x^{-1})\land(!\exist y^{-1})であれば$ !\exist(x+y)^{-1}
有限和が$ x_0+\dots+x_n=1ならば$ (x_0=1)\lor\dots\lor(x_n=1)
可換環$ Rと部分集合$ S_{\subset R}に對して、$ Sによる$ Rの局所化 (分數環)$ S^{-1}Rとは、準同型$ L:R\to S^{-1}Rによる$ Sの像$ L(S)が$ S^{-1}Rでの可逆元の集合に含まれ、そのやうな環の內で餘普遍的なものを言ふ $ Sは$ Rの乘法 monoid の部分 monoid である
可換環$ Rと部分集合$ S_{\subset R}に對して、以下で定まる同値類$ R\times S/\simに環の演算を入れたものを言ふ $ (r_1,s_1)\sim(r_2,s_2)iff.$ \exist u_{\in S}((r_1s_2-r_2s_1)u=0_R)
$ [(r,s)] を$ r/sと書く
演算
$ r_1/s_1+r_2/s_2:=(r_1s_2+r_2s_1)/(s_1s_2)
$ (r_1/s_1)(r_2/s_2):=(r_1r_2)/(s_1s_2)
$ (\Z\setminus\{0\})^{-1}\Z={\Bbb Q}
局所環附き空閒 (locally ringed space)