對稱群
symmetric group$ S_n,$ {\rm Sym}(X),$ \Sigma_n,$ {\frak S}_n
$ nを$ S_nの次數と言ふ
$ S_X\simeq S_{|X|}
群$ Gの置換群は自己同型群$ {\rm Aut}(G)に當たる 濃度$ nの有限集合の全ての置換の成す群$ S_n 正規部分群になる$ A_n\trianglelefteq S_n $ S_nの位數は$ |S_n|=n!
$ S_2\simeq C_2
n 次の對稱群$ S_nは、有理數體$ \Bbb Q上の多項式$ \left(\sum_{i=0}^n a_i X^i\right)\in{\Bbb Q}(a_0,\dots,a_n)\lbrack X\rbrackの Galois 群である $ {\Bbb Q}(a_0,\dots,a_n)\lbrack X\rbrackは有理數體$ \Bbb Qに複素數$ a_0,\dots,a_nを附加した體$ {\Bbb Q}(a_0,\dots,a_n)の多項式環 $ S_nの自己同型群は$ {\rm Aut}(S_n)=\begin{cases}1={\rm Inn}(S_2) & n=2 \\ S_6\rtimes C_2 & n=6 \\ S_n={\rm Inn}(S_n) & その他\end{cases} 置換 (permutation)
巡廻置換表現 (cycle notation)
置換を互ひに素な巡廻置換の積で表す
置換は互換 (transposition) の積で書ける
基本互換 (fundamental transpositions。隣接互換 (adjacent transpositions))
$ {\rm sgn}(\sigma):=\begin{cases}1 & \sigma は偶置換 \\ -1 & \sigma は奇置換\end{cases}
群$ (\{1,-1\},\cdot,1,-)\cong C_2への準同型 共軛置換
置換行列 (permutation matrix)
各行各列に 1 つだけ 1 が在り殘りは 0 である正方行列
置換行列の作用は vector の列或いは行の置換となる
一般化置換行列 (generalized permutation matrix。單項行列 (monomial matrix))
各行各列に 1 つだけ非零が在る正方行列
無限集合$ Xの全ての有限部分集合の成す族$ {\bf F}:=\{F|F\subset X,|F|\in\N\}を考へて、歸納極限$ \lim_{\overrightarrow{F\in{\bf F}}}S_F 自然數$ \Nについてこれを考へたもの (自然數の有限置換全體の成す群) を、無限對稱群$ S_\inftyと呼ぶ