交換子部分群
commutator subgroup。導來部分群 (derived subgroup)。導來群 (derived group)$ \lbrack G,G\rbrack
$ \lbrack G,G\rbrack:=\lang\{\lbrack x,y\rbrack|x,y\in G\}\rang
群の交換子$ \lbrack x,y\rbrack:=x^{-1}y^{-1}xy $ xy=yx[x,y]
$ [x,y] は非可換な項の可換性からの離れ具合
$ \lbrack x,y\rbrack=1ならば$ xy=yx
恆等式
$ x^y=y^{-1}xy=x[x,y]
$ [y,x]=[x,y]^{-1}
$ [xy,z]=[x,z]^y[y,z]
$ [x^{-1},y]=[y,x]^{x^{-1}}
Hall-Witt の恆等式 (Hall-Witt identity)
$ [[x,y^{-1}],z]^y[[y,z^{-1}],x]^z[[z,x^{-1}],y]^x=1
$ [[x,y],z^x][[z,x],y^z][[y,z],x^y]=1
正規部分群になる$ \lbrack G,G\rbrack\trianglelefteq G 導來列
$ G^{(0)}:=[G,G]
$ G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]
$ G^{(0)}\triangleright G^{(1)}\triangleright\dots
abelsk 化$ G^{\rm ab}:=G/[G,G]