正規部分群
normal subgroup
群$ Nが群$ Gの正規部分群である$ N\trianglelefteq Gとは、$ Nが$ Gの部分群$ N\subseteq Gであり、內部自己同型を齎す群作用としての$ Gが$ Nに於いて安定$ \forall g_{\in G}\forall n_{\in N}(g^{-1}ng\in N)である事を言ふ $ g^{-1}Ng=Nとも書く
$ gN=Ngでも同じ
剩餘類 (residue class。傍系 (coset))
群$ Gに於いて、元$ g\in Gと部分群$ H,K\subseteq Gを固定して、 左剩餘類 (left coset)$ gH:=\{gh|h\in H\}。$ g+Hとも書く
右剩餘類 (right coset)$ Hg:=\{hg|h\in H\}。$ H+gとも書く
兩側剩餘類 (double coset)$ HgK:=\{hgk|h\in H,k\in K\}。$ H+g+Kとも書く
左$ a\sim b\iff aH=bH
右$ a\sim b\iff Ha=Hb
兩側$ a\sim b\iff HaK=HbK
左剩餘類と右剩餘類が一致する$ gH=Hgのは$ Hが正規部分群である時である 商群 (quotient group。剩餘群 (factor group)) 群$ Gの正規部分群$ N\trianglelefteq Gによる剩餘類全體の成す群$ (\{gN|g\in G\},\cdot,N,\_^{-1})を商群$ G/Nと呼ぶ 演算$ (aN)(bN):=(ab)N
單位元$ 1N=N
逆元$ (aN)^{-1}:=a^{-1}N
對角化$ A=P^{-1}\Lambda Pと關係有る? 正規核 (normal core)