整數
integer。有理整數$ \Z
高木の公理
無限集合 (Dedekind 無限集合)$ \Zと、恆等でない全單射$ \varphi:\Z\to\Z,$ \exist a_{\in\Z}~\varphi(a)\ne aの組$ (\Z,\varphi)は、以下を滿たすならば整數である 眞部分集合$ M\subset\Zに、$ \varphiを$ Mに制限した寫像$ \varphi|_Mが$ Mへの全單射となる樣なものは存在しない つまり$ \Zは、恆等でない全單射を持つ無限集合の內で最小のものである 至る所で恆等でない$ \forall a_{\in\Z}~\varphi(a)\ne a事が證明される
$ \varphi(a)を$ a^+と略記する
$ \varphi^{-1}(a)を$ a^-と略記する
$ \Zの適當な要素を選んで$ 0_{\in\Z}と定義し、以後固定する
$ 1:=0^+,$ 2:=1^+…と定義する
$ \varphiを繰り返し適用して循環する場合と循環しない場合とを考へられる。簡單の爲に循環しない場合のみを考へる
循環する場合でも、ややこしくなるが同等の議論ができる
眞部分集合で循環する事は公理より有り得ない
昇列 (progression)、降列 (regression) を通して大小を定義できる
集合$ K_{\subseteq\Z}が、或る整數$ aを含むならば$ a^+をも含む時、$ Kを昇列と呼ぶ 整數$ aを含む全ての昇列の共通部分$ \bigcap_{K\in\{K|Kは昇列,a\in K\}}Kを$ K(a)と書く つまり$ aから始まる昇列$ \{a,a^+,\dots\}
集合$ L_{\subseteq\Z}が、或る整數$ aを含むならば$ a^-をも含む時、$ Lを降列と呼ぶ 整數$ aを含む全ての降列の共通部分$ \bigcap_{L\in\{L|Lは降列,a\in L\}}Lを$ L(a)と書く つまり$ aから始まる降列$ \{a,a^-,\dots\}
大小の定義
$ a=bを、$ K(a)=K(b)かつ$ L(a)=L(b)と定義する
$ a<bを、$ K(a)\supset K(b)かつ$ L(a)\subset L(b)と定義する
$ a>bを、$ K(a)\subset K(b)かつ$ L(a)\supset L(b)と定義する
全ての整數$ a,$ bに就いて、上記 3 つのいずれかが成り立つ 加法の定義
任意の整數$ aに對して、以下を滿たす函數$ F_a:\Z\to\Zが一意に定まる。加法を$ x+a:=F_a(x)と定義する $ F_a(0)=a.
$ F_a(x^+)=F_a(x)^+.
乘法の定義
任意の整數$ aに對して、以下を滿たす函數$ f_a:\Z\to\Zが一意に定まる。乘法を$ xa:=f_a(x)と定義する $ f_a(0)=0.
$ f_a(x^+)=f_a(x)+a.