自己準同型環
endomorphism ring$ {\rm End}(A)
Abelian 群$ (A,+,0)の自己準同型射は、點每 (pointwise) の加法$ (f+g)(x):=f(x)+g(x)を加法、射の合成を乘法として環$ ({\rm End}(A),+,;,0:x\to 0,{\rm id}_A)を成す 自己への射である$ (f+g)(x)=f(x)+g(x)\in A
加法を保存する$ (f+g)(x+y)=f(x+y)+g(x+y)=f(x)+f(y)+g(x)+g(y)=f(x)+g(x)+f(y)+g(y)=(f+g)(x)+(f+g)(y)
單位元を保存する$ (f+g)(0)=f(0)+g(0)=0+0=0
可換性を保存する$ (f+g)(x+y)=(f+g)(y+x)
結合律$ ((f+g)+h)(x)=(f+g)(x)+h(x)=f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g+h)(x)=(f+(g+h))(x) 右から$ (f+0)(x)=f(x)+0(x)=f(x)+0=f(x)
左から$ (0+f)(x)=0(x)+f(x)=0+f(x)=f(x)
可逆律$ (f+g)^{-1}(x):=f^{-1}(x)+g^{-1}(x) 右から$ (f+g)(x)+(f+g)^{-1}(x)=f(x)+g(x)+f^{-1}(x)+g^{-1}(x)=f(x)+f^{-1}(x)+g(x)+g^{-1}(x)=0+0=0=0(x)
左から$ (f+g)^{-1}(x)+(f+g)(x)=f^{-1}(x)+g^{-1}(x)+f(x)+g(x)=f^{-1}(x)+f(x)+g^{-1}(x)+g(x)=0+0=0=0(x)
可換律$ (f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x) 自己への射である$ (f;g)(x)=f(g(x))\in A
加法を保存する$ (f;g)(x+y)=f(g(x+y))=f(g(x)+g(y))=f(g(x))+f(g(y))=(f;g)(x)+(f;g)(y)
單位元を保存する$ (f;g)(0)=f(g(0))=f(0)=0
可換性を保存する$ (f;g)(x+y)=(f;g)(y+x)
結合律$ ((f;g);h)(x)=(f;g)(h(x))=f(g(h(x)))=f((g;h)(x))=(f;(g;h))(x) 右から$ (f;{\rm id}_A)(x)=f({\rm id}_A(x))=f(x)
左から$ ({\rm id}_A;f)(x)={\rm id}_A(f(x))=f(x)
右$ ((f+g);h)(x)=(f+g)(h(x))+f(h(x))+g(h(x))=(f;h)(x)+(g;h)(x)=((f;h)+(f;g))(x)
左$ (f;(g+h))(x)=f((g+h)(x))=f(g(x)+h(x))=f(g(x))+f(h(x))=(f;g)(x)+(f;h)(x)=((f;g)+(f;h))(x)