引き戾し
pullback。fibre 積 (fibre product)。Cartesian square
合成作用素 (composition operator)$ C_g(f):=g;f 逆像函手 (inverse image functor)$ U\mapsto \lim_{\xrightarrow[V\supseteq f(U)]{}}{\cal G}(V)
射$ f:X\to Z,$ g:Y\to Zの引き戾しとは、可換圖式$ P\xrightarrow{p_1}X\xrightarrow{f}Z\xleftarrow{g}Y\xleftarrow{p_2}Pを滿たす對象$ Pと射$ p_1,$ p_2の內で普遍 (圈論)的なものを言ふ 對象$ Pを$ X\times_Z Yと書く
cospan$ X\xrightarrow{f}Z\xleftarrow{g}Yの極限 (圈)の終對象 圖式$ X\xrightarrow{f}Z\xleftarrow{g}Yに對して、積 (圈)$ X\xleftarrow{p_1}X\times Y\xrightarrow{p_2}Yが有る時、引き戾し$ X\times_Z Yとは圖式$ X\times Y\xrightarrow{(p_1;f),(p_2;g)}Zの等化子である 集合の圈$ \bf Setでは圖式$ X\xrightarrow{f}Z\xleftarrow{g}Yに對して$ X\times_Z Y=\{(x,y)|x\in X,y\in Y,f(x)=g(y)\}\subseteq X\times Y $ X\times_Z Y\cong\bigsqcup_{x\in X}g^{-1}(\{z|z\in Z,z=f(x)\})\cong\bigsqcup_{x\in X}f^{-1}(\{z|z\in Z,z=g(x)\})
類似
積 (圈)$ A\xleftarrow{x_1}X\xrightarrow{x_2}Bの內で普遍 (圈論)的な$ (X,x_1,x_2) 集合の圈で、寫像$ f:A\to C,$ g:B\to Cの引き戾しは$ A\times_C B=\{(a,b)|a \in A,b \in B,f(a)=g(b)\},$ p_1:(a,b)\mapsto a,$ p_2:(a,b)\mapsto bであり、これは積 (圈)$ A\times Bの部分對象 (subobject) 等化子$ E\xrightarrow{e}X\xrightarrow{f}Y\xleftarrow{g}X\xleftarrow{e}Eの內で普遍 (圈論)的な$ (E,e) 圖式$ A\xrightarrow{f,g}Bの引き戾しは存在するならば等化子