完全列
exact sequence
abelsk 群と準同型の列$ n\in\Z,$ \dots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_{n-1}}X_n\xrightarrow{f_n}X_{n+1}\to\dotsが、$ {\rm im}(f_{n-1})={\rm ker}(f_n)であるならば、「$ X_nに於いて完全 (exact)」であると言ふ。全ての$ nに於いて完全であるならば、完全列と言ふ $ {\rm im}(f_{n-1})\subseteq{\rm ker}(f_n)であれば充分$ f_{n-1};f_n=0:X_{n-1}\to X_{n+1},x\mapsto 0となる
鎖複體$ f_{n-1};f_n=0に於ける homology 群$ {\rm ker}(f_n)/{\rm im}(f_{n-1})が自明$ \{0\}である場合を言ふ 列$ 0\xrightarrow{f}X\to X'が完全列 iff.$ fは單射 列$ X'\to X\xrightarrow{f}0が完全列 iff.$ fは全射 短完全列$ 0\to A\to B\to C\to 0 單射と全射との完全列$ A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow Cと同値 $ g:B\to Cに對して斷面 (section)$ s:B\larr C,$ s;g={\rm id}_Cが存在する時、短完全列は分裂 (分解) すると言ふ 短完全列$ 0\to A\to B\to C\to 0に對して函手$ Fが $ F(A)\to F(B)\to F(C)が完全列ならば半完全と呼ぶ。$ A\to B\to Cが完全列であれば充分である $ 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)が完全列ならば左完全函手と呼ぶ。$ 0\to A\to B\to Cが完全列であれば充分である $ F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0が完全列ならば右完全函手と呼ぶ。$ A\to B\to C\to 0が完全列であれば充分である 有限餘極限を有限餘極限に移す事と同値
$ 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0が完全列ならば完全と呼ぶ 左完全函手$ F:{\bf C}\to{\bf D}の右導來函手$ (R^nF):{\bf C}\to{\bf D} $ \bf Cを充分入射的な abelsk 圈とする。或る對象$ X_{\in|{\bf C}|}の入射分解$ 0\to X\to I^0\to\dotsを一つ決める (入射分解によらず、自然同型を除いて一意な函手が定まる)。餘鎖複體$ 0\to F(I^0)\to\dots\to F(I^{n-1})\xrightarrow{\partial^{n-1}}F(I^n)\xrightarrow{\partial^n}F(I^{n+1})\to\dotsの$ n-次の cohomology を右導來函手$ R^nFと呼ぶ $ R^0F=F
短完全列$ 0\to A\to B\to C\to 0から右完全列$ 0\to F(A)\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^1F(A)\to R^1F(B)\to R^1F(C)\to\dotsを得られる 右完全函手$ F:{\bf C}\to{\bf D}の左導來函手$ (L^nF):{\bf C}\to{\bf D} $ \bf Cを充分射影的な abelsk 圈とする。或る對象$ X_{\in|{\bf C}|}の射影分解$ \dots\to P_0\to X\to 0を一つ決める (射影分解によらず、自然同型を除いて一意な函手が定まる)。鎖複體$ \dots\to F(P_{n+1})\xrightarrow{\partial_{n+1}}F(P_n)\xrightarrow{\partial_n}F(P_{n-1})\to\dots\to F(P_0)\to 0の$ n-次の homology を左導來函手$ L_nFと呼ぶ $ L_0F=F
短完全列$ 0\to A\to B\to C\to 0から左完全列$ \dots L_1F(A)\to L_1F(B)\to L_1F(C)\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0を得られる Ext 函手 (Ext functor)$ {\rm Ext}^n_R(A,B) $ R-加群の圈$ {\bf Mod}_Rに於いて、或る對象$ Aを決めて$ F_A(B):={\rm Hom}_{{\bf Mod}_R}(A,B)とした時、$ {\rm Ext}^n_R(A,B):=(R^nF_A)(B) Tor 函手 (Tor functor。torsion functor)$ {\rm Tor}_n^R(A,B) $ R-加群の圈$ {\bf Mod}_Rに於いて、或る對象$ Bを決めて$ F_B(A):=A\otimes_{{\bf Mod}_R}Bとした時、$ {\rm Tor}_n^R(A,B):=(L_nF_B)(A) 三角圈 (triangulated category)
導來圈 (derived category)
K-理論