群
group
$ Gを臺集合として、組$ (G,\cdot_{:G\times G\to G},1_{\in G},^{-1}_{:G\to G})は以下を滿たすならば群である 結合律$ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c) 可逆律$ a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1 一つだけの對象$ *が在る圈$ \bf *で射が全て同型射ならば、Hom$ {\bf *}(*,*)を群と見做せる 像 (im)$ {\rm im}(h_{:G\to H}):=\{h(g)|g\in G\} 餘核$ {\rm coker}(h):=H/{\rm im}(h) 核 (ker)$ {\rm ker}(h_{:G\to H}):=\{g\in G|h(g)=e_H\} $ {\rm ker}(h)\trianglelefteq G.
$ hが單射 iff.$ {\rm ker}(h)=\{e_G\} 餘像$ {\rm coim}(h):=G/{\rm ker}(h) $ {\rm coim}(h)\cong{\rm im}(h).
群對象 (group object)
體$ (F,+,\cdot,0,1)の加法群$ (F,+,0) 體$ (F,+,\cdot,0,1)の乘法群$ (F-\{0\},\cdot,1) 正規部分群$ N\trianglelefteq G 交換子部分群 (commutator subgroup。導來部分群 (derived subgroup))$ \lbrack G,G\rbrack:=\lang\{\lbrack x,y\rbrack|x,y\in G\}\rang
交換子$ \lbrack x,y\rbrack:=x^{-1}y^{-1}xy
$ \lbrack x,y\rbrack=eならば$ xy=yx
正規部分群になる$ \lbrack G,G\rbrack\trianglelefteq G $ G/Z(G)\cong{\rm Inn}(G).
完全列$ 1\to Z(G)\to G\to{\rm Aut}(G)\to{\rm Out}(G)\to 1 特性部分群 - Wikipedia$ H~{\rm char}~G:=\forall f_{:G\to G},\forall h_{\in H}(H\subseteq G\land f(H)=H) 共軛 (相似)$ b=a^g:=g^{-1}ag
$ aの共軛類$ a^G:=\{a^g|g\in G\}は$ Gに於ける同値關係である
同値類$ G/a^G
$ aの共軛集合$ G^a:=\{g^a|g\in G\}
類等式$ |G|=|Z(G)|+\sum_i\lbrack G:C_G(x_i)\rbrack
有限群 (finite group)
有限單純群
Lie 型の群
Lie 型の群の導來部分群
散在群 (sporadic group)
monster 群$ M
捩れ群 (周期群)
直交群$ {\rm O}(n)
囘轉群 (特殊直交群)$ {\rm SO}(n)
一般線形群 (general linear group)$ {\rm GL}(n,F) 特殊線形群$ {\rm SL}(n,F)
射影線形群$ {\rm PGL}(n,F)
射影特殊線形群$ {\rm PSL}(n,F)
特殊 unitary 群$ {\rm SU}(n)
spin 群$ {\rm Spin}(n)
斜交群$ {\rm Sp}(2n,F)
compact 斜交群 (屡)$ {\rm Sp}(n)
恆等操作、囘轉操作、鏡映操作、反轉操作、囘映操作、囘反操作、竝進操作
圓周群$ \approx{\rm U}(1),$ \approx{\rm SO}(2)
四元數群$ Q_8
群の直積 - Wikipedia$ G\times H:=(G\times H,(g_1,h_1)\cdot(g_2,h_2)\mapsto(g_1\cdot g_2,h_1\cdot h_2),(1_G,1_H),(g,h)^{-1}\mapsto(g^{-1},h^{-1})) 內部半直積$ G=N\rtimes Hとは、$ N\trianglelefteq Gかつ$ H\subseteq Gかつ$ G=NHかつ$ N\cap H=1である事
$ Gの元は$ nhと一意に書ける
短完全列$ 1\to N\to G\to H\to 1は分裂する 外部半直積$ N\rtimes_\varphi H
群$ N,$ Hと群準同型$ \varphi:H\to{\rm Aut}(N)に對して、外部半直積$ N\rtimes_\varphi H:=(N\times H,(n_1,h_1)\cdot(n_2,h_2)\mapsto(n_1\cdot\varphi_{h_1}(n_2),h_1\cdot h_2),(1_N,1_H),(n,h)^{-1}\mapsto(\varphi_{h^{-1}}(n^{-1}),h^{-1}))