順序群
ordered group。partially ordered group。半順序群
左移動不變 (left translation-invariant))$ a\le b\supset(g+a\le g+b)ならば左順序群と言ふ
右移動不變 (right translation-invariant))$ a\le b\supset(a+g\le b+g)ならば右順序群と言ふ
兩側移動不變$ a\le b\supset((a+g\le b+g)\land(g+a\le g+b))ならば順序群と言ふ 元$ x_{\in G}が正元 (positive element) であるとは、$ 0\le xである事を言ふ
$ Gの正錐 (positive cone) とは$ G^+:=\{x|x\in G,0\le x\}を言ふ
部分 monoid である
單位元を含む$ 0\in G^+
演算に對して閉じてゐる$ \forall a,b_{\in G^+}(a+b\in G^+)
正規部分的である$ \forall a_{\in G^+}\forall x_{\in G}(-x+a+x\in G^+)
$ a,-a\in G^+ならば$ a=0
$ Gは$ \forall n_{\in\N}\forall g_{\in G}(ng\in G^+\supset g\in G)であれば無孔 (unperforated) であると言ふ
Riesz 群
順序群$ Gは以下を滿たせば Riesz 群と言ふ Riesz の補閒條件$ \forall x,y_{\in G}(x\le y\supset\exist z_{\in G}(x\le z\le y))
全順序群 (totally ordered group。線形順序群 (linearly ordered group))
束群 (lattice-ordered group)
環$ R上に全順序$ \leが定義されてゐて、以下を滿たせば順序環と言ふ 兩側移動不變$ a\le b\supset a+r\le b+r\land r+a\le r+b
$ 0\le a\land 0\le b\supset 0\le ab
順序體 (ordered field)