法界緣起の算術 - .｡oO(さっちゃんですよヾ(〃l

法界緣起の算術

華厳の研究 (角川ソフィア文庫) | 鈴木大拙, 杉平シズ智 |本 | 通販 | Amazon

事の系列

$ a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10},\dots

盡

$ a_1=a_1

$ a_2=a_2

$ a_3=a_3

$ \dots

相卽

$ a_1=\quad a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10},\dots

$ a_2=a_1,\quad a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10},\dots

$ a_3=a_1,a_2,\quad a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10},\dots

$ \dots

相入

$ \quad a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10},\dots=a_1

$ a_1,\quad a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10},\dots=a_2

$ a_1,a_2,\quad a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10},\dots=a_3

$ \dots

盡卽無盡

$ a_1=a_1

$ a_1=\quad a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10},\dots

$ a_2=a_2

$ a_2=a_1,\quad a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10},\dots

$ a_3=a_3

$ a_3=a_1,a_2,\quad a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10},\dots

$ \dots

事々無礙 (事々無礙法界)

$ a_1=a_1

$ a_1=\quad a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10},\dots

$ \quad a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10},\dots=a_1

$ a_2=a_2

$ a_2=a_1,\quad a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10},\dots

$ a_1,\quad a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10},\dots=a_2

$ a_3=a_3

$ a_3=a_1,a_2,\quad a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10},\dots

$ a_1,a_2,\quad a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10},\dots=a_3

$ \dots

レンマ学 | 中沢新一 |本 | 通販 | Amazon

算術

事$ a_nの理を$ A_nと書く

事$ a_nから事$ a_mへの關係$ a_n\to a_mを$ a_{nm}と書く

理$ A_nから理$ A_mへの關係$ A_n\to A_mを$ A_{nm}と書く

行列$ A=\begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} & A_{13} & \dots \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \\ \vdots & & & \ddots\end{pmatrix}を考へる

理の作用 matrix

行列力學を譬へとする

理の差異$ A_{nm}は事の差異$ a_{nm}を振幅とした波動$ a_{nm}\exp(i\omega_{nm}t)と見做せる

理$ A_nは時閒の函數$ A_n(t)であり、事の波動の總和$ A_n(t)=\sum_{m=1}^\infty a_{nm}\exp(i\omega_{nm}t)と見做せる

$ Aは Hermitian 行列$ A=A^*である

對角成分$ A_{nn}=a_{nn}e^0=a_{nn}

作用は天網に納まる

天網恢恢疎にして漏らさず - Wikipedia

宮沢賢治インドラの網

關係$ n\to mと關係$ m\to kの合成は關係$ n\to kでなければならない

量系・數系

作用の合成$ AB=\begin{pmatrix}\sum_{m=1}^\infty A_{1m}B_{m1} & \sum_{m=1}^\infty A_{1m}B_{m2} & \sum_{m=1}^\infty A_{1m}B_{m3} & \dots \\ \sum_{m=1}^\infty A_{2m}B_{m1} & \sum_{m=1}^\infty A_{2m}B_{m2} & \sum_{m=1}^\infty A_{2m}B_{m3} \\ \sum_{m=1}^\infty A_{3m}B_{m1} & \sum_{m=1}^\infty A_{3m}B_{m2} & \sum_{m=1}^\infty A_{3m}B_{m3} \\ \vdots & & & \ddots\end{pmatrix}

合成された理$ ABの$ n\to k成分は、$ (AB)_{nk}=\sum_{m=1}^\infty A_{nm}B_{mk}であり、つまり理$ Aの$ n成分から理$ Bの$ k成分に至る可能な全ての道を加算したもの$ n\to k=\sum_{m=1}^\infty(n\to m)(m\to k)

經路積分

神經傳達を鎖複體$ \dots\to A_{n+1}\xrightarrow{\partial_{n+1}}A_n\xrightarrow{\partial_n}A_{n-1}\to\dots,$ \partial_{n+1};\partial_n=0と見做す

$ {\rm im}(\partial_{n+1})\subseteq{\rm ker}(\partial_n)

傳達$ \partial_nは情報の一部 (核 (ker)) を閉鎖囘路である無意識 (Ubw)へ分岐する (藏する)。藏された情報は傳達の先では無かったものとして扱はれる

(自由構成) 0⊣1 (構造忘卻)

0の裏側: 数学と非数学のあいだ | 中沢新一, 千谷慧子, 三宅陽一郎 |本 | 通販 | Amazon

$ \varphiを命題とし、$ \llbracket\varphi\rrbracketをその眞理値とする

含意$ \varphi\xrightarrow{\square}\psiと$ \llbracket\varphi\rrbracket\le\llbracket\psi\rrbracketは同値

古典論理であれば$ \llbracket~\rrbracketは命題を完備 Boolean 代數$ 2:=\{0,1\}に對應させる

束値論理であれば$ \llbracket~\rrbracketは命題を完備束$ \cal Lに對應させる

n 項述語$ P^{(n)}(a_1,\dots,a_n)

古典集合論の model$ V^2(von Neumann 宇宙 V)

古典論理 LK

含意$ \varphi\supset\psiiff.$ \neg\varphi\lor\psi

$ \varphi\equiv\psiiff.$ (\varphi\supset\psi)\land(\psi\supset\varphi)

略記

部分集合$ x\subset uiff.$ \forall y(y\in x\supset y\in u)

空集合$ \varnothing:=\{x|x\ne x\}

ZFC 集合論

equality 公理圖式$ \forall u,v((u=v\land\varphi(u))\supset\varphi(v))

外延性の公理$ \forall u,v(\forall x(x\in u\equiv x\in v)\supset u=v)

對の公理$ \forall u,v\exist\{u,v\}\forall x(x\in\{u,v\}\equiv(x=u\lor x=v))

和集合の公理$ \forall u\exist\bigcup u\forall x(x\in\bigcup u\equiv\exist y_{\in u}(x\in y))

冪集合公理$ \forall u\exist{\cal P}(u)\forall x(x\in {\cal P}(u)\equiv x\subset u)

つまり$ {\cal P}(u)=\{x|x\subset u\}

無限公理$ \exist u(\exist x(x\in u)\land\forall x_{\in u}\exist y_{\in u}(x\in y))

分出公理圖式$ \forall u\exist\{x|x\in u,\varphi(x)\}\forall x(x\in\{x|x\in u,\varphi(x)\}\equiv(x\in u\land\varphi(x)))

集まりの公理圖式$ \forall u\exist v((\forall x_{\in u}\exist y~\varphi(x,y))\supset\forall x_{\in u}\exist y_{\in v}\varphi(x,y))

∈-歸納法$ \forall x((\forall y_{\in x}\varphi(y))\supset\varphi(x))\supset\forall x~\varphi(x)

選擇公理 (AC)$ \forall u((u\ne\varnothing\land\forall x_{\in u}(x\ne\varnothing))\supset\exist f_{\subset u\times\bigcup u}\forall x_{\in u}(f(x)\in x))

(原文では$ \varnothingも$ u\times vも未定義だが…)

順序數$ \rm Onで添へ字附けし、

$ {V^2}_0:=\varnothing

$ {V^2}_\alpha:=\{u|\exist\beta_{<\alpha}(u:{V^2}_\beta\to 2)\}

$ 2:=\{0,1\}

つまり$ {V^2}_{\alpha+1}={\cal P}({V^2}_\alpha)

集合$ uを、特性函數を$ u:V^2\to 2として$ u=\{x|u(x)=1\}と見做せる

特性函數$ uを集合$ uと同一視できる

$ V^2:=\bigcup_{\alpha\in{\rm On}} {V^2}_\alpha

命題の解釋$ \lang M,\llbracket~\rrbracket,i\rang

歸納的に

$ \llbracket u\in v\rrbracket:=\bigvee_{x\in{V^2}_\beta}(\llbracket x=u\rrbracket\land v(x))

$ \llbracket u=v\rrbracket:=\bigwedge_{x\in{\cal D}(u)}(u(x)\supset\llbracket x\in v\rrbracket)\land\bigwedge_{x\in{\cal D}(v)}(v(x)\supset\llbracket x\in u\rrbracket)

$ Mを對象領域とする n 項述語$ P^{(n)}(a_1,\dots,a_n),$ a_1,\dots,a_n\in Mについて、$ \llbracket P^{(n)}(a_1,\dots,a_n)\rrbracket\in 2であり、$ \llbracket P^{(n)}\rrbracketを寫像$ M^n\to 2と見做す

$ \llbracket P^{(n)}(a_1,\dots,a_n)\rrbracket=\llbracket P^{(n)}\rrbracket(i(a_1),\dots,i(a_n))で$ iを定義する

論理演算はBoolean 代數の演算に飜譯する

$ \llbracket\varphi\land\psi\rrbracket:=\llbracket\varphi\rrbracket\land\llbracket\psi\rrbracket

$ \llbracket\varphi\lor\psi\rrbracket:=\llbracket\varphi\rrbracket\lor\llbracket\psi\rrbracket

$ \llbracket\neg\varphi\rrbracket:=\neg\llbracket\varphi\rrbracket

$ \llbracket\forall x\varphi(x)\rrbracket:=\bigwedge_{x\in V^2}\llbracket\varphi(x)\rrbracket

$ \llbracket\exist x\varphi(x)\rrbracket:=\bigvee_{x\in V^2}\llbracket\varphi(x)\rrbracket

部分集合$ \llbracket u\subset v\rrbracket:=\bigwedge_{x\in{\rm dom}(u)}(\llbracket x\in u\rrbracket\supset\llbracket x\in v\rrbracket)

束値宇宙 (latice valued univerce)$ V^{\cal L}

束値論理

廣域含意$ \xrightarrow{\square}

$ \llbracket\varphi\xrightarrow{\square}\psi\rrbracket=1iff.$ \llbracket\varphi\rrbracket\le\llbracket\psi\rrbracket

$ \llbracket\varphi\xrightarrow{\square}\psi\rrbracket=0iff.$ \llbracket\varphi\rrbracket\cancel\le\llbracket\psi\rrbracket

束値集合論 (latice valued set theory) LZFZ。廣域集合論 (global set theory)

$ \overset\square\inの定義

$ \exist y_{\overset\square\in v}\varphi(x,y)iff.$ \exist y(\square(y\in v)\land\varphi(x,y))

ZFC 集合論の含意$ \supsetを全て廣域含意$ \xrightarrow{\square}に、$ \equivを全て$ \xleftrightarrow{\square}に置き換へる

$ \forall u(u\in v\supset\varphi)の略記であった$ \forall u_{\in v}\varphiの含意も置き換へられる

集まりの公理圖式の$ \inの一部を$ \overset\square\inに置き換へる

$ \forall u\exist v(\forall x(x\in u\xrightarrow{\square}\exist y~\varphi(x,y))\xrightarrow{\square}\forall x(x\in u\xrightarrow{\square}\exist y_{\overset\square\in v}~\varphi(x,y)))

選擇公理 (AC)の代はりに Zorn の補題を變形したものを追加する

$ {\rm gl}(u)iff.$ \forall x(x\in u\xrightarrow{\square}x\overset\square\in u)

鎖$ {\rm chain}(v,u)iff.$ v\subset u\land\forall x,y(x,y\in u\xrightarrow{\square}(x\subset y\lor y\subset x))

最大$ \max(z,u)iff.$ z\in u\land\forall x((x\in u\land z\subset x)\xrightarrow{\square}z=x)

$ {\rm gl}(u)\land\forall v({\rm chain}(v,u)\xrightarrow{\square}\bigcup v\in u)\xrightarrow{\square}\exist z~\max(z,u)

$ \lozengeの公理を追加する

$ \forall u\exist\lozenge u\forall t(t\in\lozenge u\xrightarrow{\square}\lozenge(t\in u))

束値宇宙$ V^{\cal L}を、von Neumann 宇宙 Vを$ 2への特性函數$ u:{\rm dom}(u)\to 2で歸納的に定義した樣に、$ \cal Lへの特性函數$ u:{\rm dom}(u)\to{\cal L}で歸納的に定義する

順序數$ \rm Onで添へ字附けし、

$ {V^{\cal L}}_\alpha:=\{u|\exist\beta_{<\alpha}(u:{V^{\cal L}}_\beta\to{\cal L})\}

特性函數$ u:V^{\cal L}\to{\cal L}を集合$ uと見做せる

$ V^{\cal L}:=\bigcup_{\alpha\in{\rm On}}{V^{\cal L}}_\alpha

宇宙の埋め込み

$ 2\subseteq{\cal L}から埋め込み$ \check~:V^2\to V^{\cal L},u\mapsto\check uを定義する

check 集合 (check set)

$ v\in V^{\cal L}に對して、$ {\rm ck}(v)iff.$ \exist u_{\overset\square\in V^2} (v=\check u)

一般に$ {\rm ck}(x)iff.$ \forall t(t\in x\xleftrightarrow{\square}t\overset\square\in x\land{\rm ck}(t))

check 集合から$ \square閉な論理式で定義した集合は ckeck 集合である。$ {\rm ck}(x)\xrightarrow{\square}{\rm ck}(\{t|t\in x,\square\varphi(t)\})

check 集合の全體$ W\subset V^{\cal L}は古典集合論の model である

$ x\in Wiff.$ \exist t_{\in V^2}(x=\check t)

$ Wは$ V^2と同型

$ x\in yiff.$ \llbracket\check x\in\check y\rrbracket=1

$ x=yiff.$ \llbracket\check x=\check y\rrbracket=1

$ V^2での$ \forall,$ \existを$ Wでの$ \forall^W,$ \exist^Wで表現できる

$ \forall^W x~\varphi(x)iff.$ \forall x({\rm ck}(x)\xrightarrow{\square}\varphi(x))

$ \exist^W x~\varphi(x)iff.$ \exist x({\rm ck}(x)\land\varphi(x))

ZFC 集合論の$ \forall,$ \existを$ \forall^W,$ \exist^Wで置き換へた公理は LZSFZ で證明できる

束値集合論に於ける數

自然數$ \N

$ 0

空集合$ \varnothing

古典無限公理$ \exist A(\exist x(x\in A)\land\forall x_{\in A}\exist y_{\in A}(x\in y))で要請される集合$ Aを考へる。廣域分出公理圖式により$ \exist\varnothing\forall x((x\in\varnothing)\xleftrightarrow{\square}(x\in A\land\bot))を滿たす、つまり$ \forall x(x\in\varnothing)\xleftrightarrow{\square}\botを滿たす集合$ \varnothingが存在する。$ \varnothingを空集合と呼ぶ

$ \bigwedge_{x \in V^{\cal L}}\llbracket x\in\varnothing\rrbracket=0

空集合は一意ではない

例

古典的な空集合$ \{\}

$ {\cal L}:=[0,1] として、特性函數$ \{a_1,a_2,\dots\}\to[0,1],a_n\mapsto\frac 1 n

定理$ \forall x~\neg(x\in\varnothing)

定理$ {\rm ck}(\varnothing)

$ \because$ \forall t(t\in\varnothing\xleftrightarrow{\square}(t\in\varnothing\land{\rm ck}(t)))

$ 0:=\varnothing

$ 1

廣域對の公理により$ \forall 0,0\exist\{0,0\}\forall x(x\in\{0,0\}\xleftrightarrow{\square}(x=0\lor x=0))を滿たす集合$ \{0,0\}が存在する

$ 1:=\{0,0\}

$ S(0)=0\cup\{0\}=\varnothing\cup\{\varnothing\}=\{\varnothing\}=\{\varnothing,\varnothing\}=\{0,0\}

定理$ {\rm ck}(1)

後者$ S

$ S(n):=n\cup\{n\}

定理$ {\rm ck}(n)\xrightarrow{\square}{\rm ck}(S(n))

$ \because$ ({\rm ck}(n)\land(m\in n\lor m=n))\xrightarrow{\square}(m\overset\square\in S(n))

自然數$ \N

廣域無限公理により$ \exist\N(\exist x(x\in\N)\land\forall x((x\in\N)\xrightarrow{\square}\exist y_{\in\N}(x\in y)))を滿たす集合$ \N:=\{n|(n=0)\lor\exist m_{\in\N}(n=S(m))\}が存在する

定理$ {\rm ck}(\N)。つまり$ \N\in W

Peano 算術 (PA)を再現する

和$ 0+b:=b,$ S(a)+b:=S(a+b)

積$ 0\cdot b:=0,$ S(a)\cdot b:=a\cdot b+b

$ a\cdot bを$ abと略記する

同値關係$ \equiv

順序對$ \lang x,y\rang:=\{x,\{x,y\}\}

直積$ z\times z:=\{\lang x,y\rang|x,y\in z\}

$ R\subset z\times zを$ z上の二項關係と呼ぶ。$ \lang x,y\rang\in Rである事を$ xRyと書く

自然數上の全順序$ \le

$ a\le biff.$ \exist x_{\in\N}(a+x=b)

以下を滿たす二項關係$ \equivを同値關係と呼ぶ

反射律$ \forall m(m\equiv m)

對稱律$ \forall m,n((m\equiv n)\supset(n\equiv m))

推移律$ \forall m,n,l((m\equiv n\land n\equiv l)\supset(m\equiv l))

同値類$ |x|

$ |x|:=\{y|y\in z,y\equiv x\}

商集合$ z/\equiv

$ z/\equiv~:=\{|x|~|x\in z\}

整數$ \Z

自然數の順序對の上の同値關係を$ \lang m,n\rang\equiv\lang m',n'\rangiff.$ m+n'=m'+nと定義し、商集合$ \Z:=(\N\times\N)/\equiv~=\{|\lang m,n\rang|~|m,n\in\N\}を整數と呼ぶ。この$ \lang m,n\rangを$ m-nと書く

定理$ {\rm ck}(|m-n|)

定理$ {\rm ck}(\Z)

整數の全順序

$ (m-n)\le(m'-n')iff.$ (m+n')\le(n+m')

和$ |m-n|+|m'-n'|:=|(m+m')-(n+n')|

積$ |m-n|\cdot|m'-n'|

有理數$ \Bbb Q

整數の順序對の上の同値關係を$ \lang x,y\rang\equiv\lang x',y'\rangiff.$ x\cdot y'=y\cdot x'と定義し、商集合$ {\Bbb Q}:=(\Z\times\Z)/\equiv~=\{|\lang x,y\rang|~|x,y\in\Z\}を有理數と呼ぶ。この$ \lang x,y\rangを$ x/yと書く

定理$ {\rm ck}(|x/y|)

定理$ {\rm ck}({\Bbb Q})

和$ |a/b|+|c/d|:=|(ad+bc)/bd|

差$ |a/b|-|c/d|:=|(ad-bc)/bd|

積$ |a/b|\cdot|c/d|:=|ac/bd|

商$ |a/b|/|c/d|:=|ad/bc|

有理數の全順序

$ x\ge yiff.$ x-y\ge 0

有理數は稠密 (dense)$ \forall x,y_{\in{\Bbb Q}}(x<y\xrightarrow{\square}\exist z_{\in{\Bbb Q}}(x<z<y))

實數$ \R^{\cal L}

以下を滿たす順序對$ u:=\lang L_u,U_u\rangを Dedekindscher 切斷と呼ぶ

上組$ U_u\subset{\Bbb Q}

ここで部分集合を使ひ、部分集合を作る論理式は$ \square閉でないので、$ \R^{\cal L}は check 集合とは限らない

$ \exist x_{\in{\Bbb Q}}(x\in U_u)\land\exist x_{\in{\Bbb Q}}(\neg(x\in U_u))

$ \forall x_{\in{\Bbb Q}}(x\in U_u\xrightarrow{\square}\forall y_{\in{\Bbb Q}}(x<y\xrightarrow{\square}y\in U_u))

下組$ L_u={\Bbb Q}\setminus U_u:=\{x|x\in{\Bbb Q}\land\neg(x\in U_u)\}

Dedekindscher 切斷の全體を實數$ \R^{\cal L}:=\{\lang L_u,U_u\rang\}と呼ぶ

實數の全順序

$ \lang L_u,U_u\rang\le\lang L_v,U_v\rangiff.$ L_u\subset L_v

$ u,vが有理數である場合の和$ \lang L_u,U_u\rang+\lang L_v,U_v\rang:=\lang{\Bbb Q}\setminus U_{u+v},U_{u+v}\rang

$ u,v\ge 0が有理數である場合の積$ \lang L_u,U_u\rang\cdot\lang L_v,U_v\rang:=\lang{\Bbb Q}\setminus U_{u\cdot v},U_{u\cdot v}:=\{x\cdot y|x\in U_u,y\in U_v\}\rang

複素數$ \Complex^{\cal L}

$ \N\subset\Z\subset{\Bbb Q}\subset\R^{\cal L}\subset\Complex^{\cal L}であるかの樣に埋め込める

直觀主義宇宙$ V^{{\cal O}(X)}

直觀主義論理は完備 Heyting 代數を眞理値束とした束値論理である

位相空閒$ Xの開集合系$ {\cal O}(X)は、和集合$ \capを交はり、共通部分$ \cupを結びとして完備 Heyting 代數を成す

層 (faisceau)$ \lang{\cal F},\rho\rang

$ Xを位相空閒、$ {\cal O}(X)をその開集合系とする

寫像$ {\cal F}:{\cal O}(X)\to|{\bf Set}|が有り、開集合$ U,V\in{\cal O}(X),$ U\subset Vに對して制限寫像$ \rho_U^V:{\cal F}(V)\to{\cal F}(U)が以下を滿たすならば、組$ \lang{\cal F},\rho\rangを$ X上の層 (faisceau)と呼ぶ

$ X上の前層である

$ {\cal F}(\varnothing)=\varnothing

$ \rho_U^U={\rm id}_U

開集合$ U,V,W\in{\cal O}(X)が$ U\subset V\subset Wならば、$ \rho_U^W=\rho_V^W;\rho_U^V

開集合$ U\in{\cal O}(X)を、適當な$ \{U_i\}_{i\in I}\subset{\cal O}(X)によって$ U=\bigcup_{i\in I}U_iと表せ、更に$ \forall i(f_i\in{\cal F}(U_i))\land\forall i,j_{\in I}(\rho_{U_i\cap U_j}^{U_i}(f_i)=\rho_{U_i\cap U_j}^{U_j}(f_j))である場合に、$ \forall i_{\in I}(\rho_{U_i}^U(f)=f_i)となる$ f\in{\cal F}(U)がただ一つ存在する

茎 (stalk)$ {\cal F}_x

點$ x\in Xの開近傍$ U\in{\cal O}(X),$ x\in U全體の成す集合$ {\frak R}_xを考へる。$ {\frak R}_xに包含關係の逆の順序$ U\ge Viff.$ U\subseteq Vを入れる。歸納極限$ F_x:=\lim_{\overrightarrow{x\in U}}{\cal F}(U)を$ x上の茎と呼ぶ

$ \prod_{x\in X}{\cal F}_xで$ \lang{\cal F},\rho\rangを復元できる

直觀主義宇宙$ V^{{\cal O}(X)}に對して、$ {\cal F}_xは二値宇宙$ {V_x}^2を表現する

各點$ x,y,\dots\in X每に二値宇宙$ {V_x}^2,{V_y}^2,\dotsが存在する。二値宇宙の共通部分$ {\cal F}_x\sqcap{\cal F}_y\sqcap\dotsで直觀主義宇宙$ V^{{\cal O}(X)}を復元できる

實數$ \R^{{\cal O}(X)}

Dedekindscher 切斷$ u=\lang L_u,U_u\rangで實數を定義する

$ \llbracket\_\rrbracket\in{\cal O}(X)であるから$ \llbracket u\in\R^{{\cal O}(X)}\rrbracket\in{\cal O}(X)

$ X_u:=\llbracket u\in\R^{{\cal O}(X)}\rrbracket

適當な實數$ uと有理數$ r,s\in{\Bbb Q}に對して、$ r\le sならば$ \llbracket\check r\in U_u\rrbracket\subset\llbracket\check s\in U_u\rrbracketである

$ f_u(x):=\inf\{r|r\in{\Bbb Q},x\in\llbracket\check r\in U_u\rrbracket\}

$ f_u:X_u\to\R^{{\cal O}(X)}は連續函數である

實數の層 (faisceau)

$ {\cal F}_x:=\{f_u(x)|u\in\R^{{\cal O}(X)}\}

$ {\cal F}_x\subset\R^{{\cal O}(X)}

$ {\cal F}:=\prod_{x\in X}{\cal F}_x

$ {\cal F}(U):=\{f_u(x)|f_u(x)\in{\cal F}_x,u\in U\}

$ \rho_U^V:{\cal F}(V)\to{\cal F}(U)

$ \lang{\cal F},\rho\rangは$ X上の層 (faisceau)である。これを實數の層 (faisceau)と呼ぶ

斷面 (section)$ f_u=\{\lang x,f_u(x)\rang\}\subset X_u\times{\cal F}(U)

複素數$ \Complex^{{\cal O}(X)}

量子集合論の宇宙$ V^{Q(H)}

Hilbert 空閒の射影作用素から成る眞理値束 (lattice)を持つ量子集合論

Hilbert 空閒の unitary 作用素が作る位相空閒上の、二値宇宙の層 (faisceau)

量子論理

量子論理は完備相補 modular 束を眞理値束とした束値論理である

sequent 計算

束値論理の sequent 計算を前提する

對合律

$ \frac{\varphi,\Gamma\vdash\Delta}{(\varphi^\bot)^\bot,\Gamma\vdash\Delta}

$ \frac{\Gamma\vdash\Delta,\varphi}{\Gamma\vdash\Delta,(\varphi^\bot)^\bot}

補元律

$ \frac{\varphi,\bar\Gamma\vdash\Delta}{\bar\Gamma\vdash\Delta,\varphi^\bot},$ \frac{\square\varphi,\Gamma\vdash\Delta}{\Gamma\vdash\Delta,(\square\varphi)^\bot}

$ \frac{\Gamma\vdash\bar\Delta,\varphi}{\varphi^\bot,\Gamma\vdash\bar\Delta},$ \frac{\Gamma\vdash\Delta,\square\varphi}{(\square\varphi)^\bot,\Gamma\vdash\Delta}

順序保存

$ \frac{\varphi,\bar\Gamma\vdash\bar\Delta,\psi}{\psi^\bot,\bar\Gamma\vdash\bar\Delta,\varphi^\bot}

orthomodularity

$ \frac{\varphi,\bar\Gamma\vdash\bar\Delta,\psi}{\psi,\bar\Gamma\vdash\bar\Delta,\varphi\lor(\varphi^\bot\land\psi)}

$ n次元 Hilbert 空閒$ Hの射影作用素$ P:H\to H,$ P^2=Pの全體 (或いは部分線形空閒の全體)$ Q(H)は完備相補 modular 束を成す

共立的 (compatible)

$ p=(p\land q)\lor(p\land q^\bot)であれば、元$ pと$ qは共立的であると呼ぶ

集合$ Bは、その全ての元が共立的である$ \forall p,q_{\in B}(p=(p\land q)\lor(p\land q^\bot))ならば、共立的であると言ふ

$ Q(H)の部分束$ B\subset Q(H)は、共立的ならば完備 Boolean 代數である

順序數$ \rm Onで添へ字附けし、

$ {V^{Q(H)}}_0:=\varnothing

$ {V^{Q(H)}}_\alpha:=\{u|\beta<\alpha,{\rm dom}(u)\subset{V^{Q(H)}}_\beta,u:{\rm dom}(u)\to Q(H)\}

$ V^{Q(H)}:=\bigcup_{\alpha\in{\rm On}}{V^{Q(H)}}_\alpha

$ \cal Uの Boolean 代數層$ {\rm Sh}_{\cal U}B

unitary 作用素$ \sigma:H\to Hの全體を$ \cal Uと書く。$ \cal Uは位相空閒を成し、開集合系を$ {\cal O}({\cal U})と書く

$ Hの正規直交基底を一つとり$ \frak e=\{e_i|i\in\N\},$ H=\{\sum_{i\in\N}a_i e_i|a_i\in\Complex,e_i\in\frak e\},$ \forall i,j_{\in\N}(i\ne j\supset e_i\cdot e_j=0),$ \|e_i\|=1と書く

$ Hの部分線形空閒の全體$ B:=\{\{\sum_{n\in M}a_ie_i|a_i\in\Complex,e_i\in\frak e\}|M\subset\N\}を考へる

$ \sigma(\frak e)も$ Hの基底である

$ Q(H)=\bigvee_{\sigma\in{\cal U}}\sigma(B)

$ Bは完備 Boolean 代數を成す

$ Bの束値宇宙$ V^Bは古典集合論の宇宙$ V^2と等しい

unitary 作用素$ \sigma:H\to Hで寫した$ \sigma(B)の宇宙$ V^{\sigma(B)}も古典集合論の宇宙$ V^2と等しい

以下の$ \lang{\cal F},\rho\rangは$ \cal U上の層 (faisceau)を成す。これを$ \cal Uの Boolean 代數層$ {\rm Sh}_{\cal U}Bと呼ぶ

$ {\cal F}:=\{f|f:{\cal U}\to Q(H),f(\sigma)\in\sigma(B),fは連續\}

$ {\cal F}(U):=\{f|f\in{\cal F},U\in{\cal O}({\cal U}),f:U\to\bigvee_{\sigma\in{\cal U}}\sigma(B),f(\sigma)\in\sigma(B),fは連續\}

$ \rho_U^V:{\cal F}(V)\to{\cal F}(U),$ (U(\rho_U^V(f(V))))(x)=(f(U))(x)

量子集合論の宇宙$ V^{Q(H)}は$ \cal U上の古典集合論の宇宙$ V^Bの層 (faisceau)$ {\rm Sh}_{\cal U}V^Bで表現できる

實數$ \R^{Q(H)}

$ V^{Q(H)}での Dedekindscher 切斷$ u:=\lang L_u,U_u\rangを考へる

有理數$ x,y\in{\Bbb Q}が

$ \{\llbracket x\in U_u\rrbracket|x\in{\Bbb Q}\}は、$ x\le yならば$ \llbracket x\in U_u\rrbracket\le\llbracket y\in U_u\rrbracketである事によって全順序

$ x\le yならば$ \llbracket x\in U_u\rrbracketと$ \llbracket y\in U_u\rrbracketとは共立的である

$ \{\llbracket\check r\in U_u\rrbracket|r\in{\Bbb Q}\}\subset Q(H)は共立的である

これを含む極大な共立的な部分束を$ Bと書く。$ Bは完備 Boolean 代數である

$ V^{Q(H)}での實數$ uは、$ V^Bでの實數$ \hat uに對應する。$ \hat uは$ Hの Hermitian 作用素である

複素 unitary 作用素$ \sigmaはHermitian 作用素$ Aの指數函數$ \sigma=e^{iA}と書いてよい

$ \sigma(B)=e^{-iA}B e^{iA}

實數の層 (faisceau)を作れる