行列力學
matrix mechanics
原子內の電子の第 n 軌道から第 m 軌道への遷移$ n\to m
放出・吸收される電磁波
$ n>mなら放出、$ n<mなら吸收
振動數$ \nu(n\to m)=\nu_m-\nu_n=cR\left(\frac 1{m^2}-\frac 1{n^2}\right)(Balmer の公式)
眞空中の光速$ c
角振動數$ \omega(n\to m)=2\pi\nu(n\to m)
$ \omega(m\to n)=-\omega(n\to m)
energy$ E(n\to m)=\hbar\omega(n\to m)=h\nu(n\to m)
$ n\to mに對して、放出・吸收する電磁波を波動$ Q(n\to m)\exp(i\omega(n\to m)t)と書けると考へる
複素振幅 (振幅・位相) が$ Q(n\to m)で角振動が$ \exp(i\omega(n\to m)t)である單振動
$ x=\frak{Re}(A_\Complex\exp(i\omega t))
$ A_\Complexは複素振幅、$ \omegaは角振動數
$ x=A\cos(\omega t+\phi)($ Aは振幅、$ \phiは初期位相) とした場合$ A_\Complex=A\exp(i\phi)
$ p=\frak{Im}(A_\Complex\exp(i\omega t)),$ p=A\sin(\omega t+\phi)
電子の第 n 軌道には、全ての正の整數$ m\in\N^+への遷移$ n\to mの情報$ Q(n\to m)\exp(i\omega(n\to m)t)を重ね合はせた情報$ q_n(t)=\sum_{m=1}^\infty Q(n\to m)\exp(i\omega(n\to m)t)が有ると考へる。これが第 n 軌道での電子の位置である
$ \omega(n\to n)=0
$ Q(n\to n)\exp(i\omega(n\to n)t)=Q(n\to n)
$ n\to mの後には$ m\to kと續くものしか物理的意味を持たない。それは$ n\to kを意味する
$ ((q_n(t))^2)_{n\to k}=\sum_{m=1}^\infty Q(n\to m)\exp(i\omega(n\to m)t)Q(m\to k)\exp(i\omega(m\to k)t)=\sum_{m=1}^\infty Q(n\to m)Q(m\to k)\exp(i\omega(n\to k)t)
遷移$ n\to kは、任意の$ mを經由する遷移の合成 (積) の情報の全てを合はせた (總和) もの$ n\to k=\sum_{m=1}^\infty(n\to m)(m\to k)
$ Q(n\to m)\exp(i\omega(n\to m)t)を$ q_{nm}=Q_{nm}\exp(i\omega_{nm}t)と書く事とする
複素共軛の關係$ q_{mn}=Q_{mn}\exp(i\omega_{mn}t)={Q_{nm}}^*\exp(-i\omega_{nm}t)={q_{nm}}^*
行列$ q=\begin{pmatrix}q_{11} & q_{12} & \dots \\ q_{21} & q_{22} \\ \vdots & & \ddots\end{pmatrix}の第 n 行$ (q_{n1},q_{n2},\dots)と第 n 列$ \begin{pmatrix}q_{1n} \\ q_{2n} \\ \vdots\end{pmatrix}とが第 n 軌道の情報を持ってゐる
$ q_{nn}=Q_{nn}\exp(i\omega_{nn}t)=Q_{nn}\exp(0)=Q_{nn}は物理的意味を持つ爲には實數でなければならない 複素共軛$ q_{nm}={q_{mn}}^*
$ ((q_n(t))^2)_{n\to k}=\sum_{m=1}^\infty q_{nm}q_{mk}は$ q^2=\begin{pmatrix}\sum_{m=1}^\infty q_{1m}q_{m1} & \sum_{m=1}^\infty q_{1m}q_{m2} & \dots \\ \sum_{m=1}^\infty q_{2m}q_{m1} & \sum_{m=1}^\infty q_{2m}q_{m2} \\ \vdots & & \ddots\end{pmatrix}から取り出せる
位置と運動量の交換子$ [p,q]=pq-qp は對角成分は$ \frac h{2\pi i}となる對角行列である