實數
real number$ \R
実数 - Wikipedia
real number in nLab
構成
実数の連続性 - Wikipedia
Cauchy 列
コーシー列 - Wikipedia#実数の構成
実数 - Wikipedia#コーシー列を用いた構成
完備距離空間 - Wikipedia#完備化
無限數列$ a_0,\dotsは$ \lim_{n,m\to\infty}|a_n-a_m|=0を滿たすならば Cauchy 列である
有理數の Cauchy 列に演算を定義する事で實數を構成できる。有理數$ qは Cauchy 列$ (q,q,\dots)と同一視する
實數に於いて Cauchy 列は必ず收束する
Dedekindscher 切斷
デデキント切断 - Wikipedia
Dedekindscher Schnitt – Wikipedia
実数 - Wikipedia#デデキント切断による構成
実数の連続性 - Wikipedia#デデキントの公理
全順序集合$ Qについて、以下を滿たす集合の組$ (L,U)を Dedekindscher 切斷と呼ぶ
$ L\ne\varnothing
$ U\ne\varnothing
$ Q=L\cup U
$ \forall a_{\in L},b_{\in U}(a<b)
實數$ \Rは、有理數$ \Bbb Qの任意の Dedekindscher 切斷$ (L,U)に於いて、$ \max L\in\R\land\min U\notin\Rであるかさうでなければ$ \max L\notin\R\land\min U\in \Rである
有理數を使はない構成
Norbert A'Campo “A natural construction for the real numbers” 2003
R. D. Arthan “The Eudoxus Real Numbers” 2004
実解析 - Wikipedia
連續體濃度$ |\R|
實閉體
擴大實數 (extended real number)
拡大実数 - Wikipedia
affine 的な擴大實數 (extended real number)$ \R\cup\{\pm\infty\}
射影的な擴大實數 (extended real number)$ \R\cup\{\infty\}
實數$ \R\subset超實數 (hyperreal number)$ ^*\R\subset準超實數 (super-real number)$ \subsetLevi-Civita 體$ \subset超現實數 (surreal number)
超實數 (hyperreal number) (超準實數 (nonstandard real number))$ ^*\R
超実数 - Wikipedia
超準解析
準超實數 (super-real number)
準超実数 - Wikipedia
準超実体 - Wikipedia
Levi-Civita 體
レヴィ＝チヴィタ体 - Wikipedia
超現實數 (surreal number)
超現実数 - Wikipedia
surreal number in nLab