實數
real number$ \R
構成
無限數列$ a_0,\dotsは$ \lim_{n,m\to\infty}|a_n-a_m|=0を滿たすならば Cauchy 列である 異なる Cauchy 列$ (a_n)_{n\in\N},$ (b_n)_{n\in\N}が同じ値に收束する$ \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0ならば、2 つは同じ實數を定義する 例 :$ \sqrt 2を定義する
有理數列$ (a_n)_{n\in\N},$ a_0=1,$ a_{n+1}=a_n-\frac{{a_n}^2-2}{2a_n}=\frac 1 2\left(a_n+\frac 2 a_n\right)は Cauchy 列と成る $ (a_n)_{n\in\N}と同じ値に收束する$ \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0Cauchy 列の同値類を$ \sqrt 2とできる $ L\ne\varnothing
$ U\ne\varnothing
$ Q=L\cup U
$ \forall a_{\in L},b_{\in U}(a<b)
實數$ \Rは、有理數$ \Bbb Qの任意の Dedekindscher 切斷$ (L,U)に於いて、$ \max L\in\R\land\min U\notin\Rであるかさうでなければ$ \max L\notin\R\land\min U\in \Rである 例 :$ \sqrt 2を定義する
下組$ L_{\sqrt 2}:=\{q\in Q|q<0\land q^2<2\}
最大元は存在しない
上組$ U_{\sqrt 2}:=\{q\in Q|q>0\land q^2>2\}
最小元は存在しない
Dedekind-MacNeille 完備化
区間縮小法の原理
本硏究では、整數の加法群を基盤として直接構築された新たな實數體系を提案する。この體系の基礎理論は、アンリ・ポアンカレ［P, pp.230-233］による圓の向きを保つ同相寫像の廻轉數に關する定義に由來する。本體系における實數の加法・乘法・比較の定義は極めて自然な形で定式化されてゐる。提案する實數の定義は、無理數、整係數多項式方程式の根であって、根號では表現できない數、あるいは整係數多項式方程式の根ではない數といった具體例によって明確に示される。本硏究の構想において、セバスティアン・バーダー、エティエンヌ・ギ、ドミンゴ・トレドとの活潑な議論に多大なる感謝を申し上げる。 本註記では、Schanuel によって提唱された實數の表現方法について述べる。この表現方法を用いることで、實數を基本原理から構築することが可能となる。Dedekindscher 切斷を用ゐた實數の有名な構成法と同樣に、この手法の着想は古代ギリシャのエウドクソスによる比例理論に由來する。ただし、デデキントの構成法とは異なり、この手法では整數から直接實數へと構築が進められ、中閒段階として有理數を構築する必要がない點が特徵である。 實數の加法群の構成は、整數が持つ比較的單純な代數的性質に依存してゐる。この構成部分は、例えば任意の abelsk 群を整數の役割に置き換へるなど、いくつかの自然な形で一般化することが可能である。これにより、次のやうな疑問が生じる : この構成法は具體的にどのやうな數學的對象を構築してゐるのか? 附錄では、いくつかの一般化の可能性について槪說し、簡單な場合においてこの疑問に對する囘答を提示する。 本論文での主要構成の扱ひは、自己完結的なものを意圖してをり、讀者が整數環における初等代數の知識と、群・環・體といった抽象代數學の槪念の定義について既に理解してゐることを前提としてゐる。 超冪$ (a_0,a_1,\dots)
形式的冪級數$ \sum_{\alpha\in S}a_\alpha t^\alpha 二分木$ \{R|L\}