指數函數
exponential function
定義
$ xが自然數の場合、歸納的に$ e^x=\prod_{i=0}^x e 極限$ e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac x n\right)^n
冪級數$ e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}
積分方程式$ x=\int_1^y\frac{{\rm d}t}tの解
常微分方程式$ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}-y=0,$ y(0)=1の解
$ xが複素數の場合$ e^x=e^{\frak Rx}(\cos\frak Ix+i\sin\frak Ix). 對數函數 (logarithm function)
擴張
離散對數 (discrete logarithm)
$ Gを位數$ nの有限巡廻群とし、$ b\in Gを決める。$ a\in Gについて$ a^k=bとなる最小の自然數$ k\le nを求める q-對數函數
指數法則
$ e^{a+b}=e^a e^b,$ e^0=1
$ \log(ab)=\log a+\log b,$ \log 1=0
擴張
定義域の擴張
p-進指數函數
超指數函數 (hyperexponential function)
$ e:{\rm On}\to{\rm On},$ e(\xi):=\begin{cases}-1+\omega^\xi & \xi=0 \\ \omega^\xi & {\rm otherwise}\end{cases}
q-指數函數
hyper 演算
$ C_0半群 (強連續 1 parameter 半群)
多重指數は組$ \alpha:=(\alpha_1,\dots,\alpha_n),$ \alpha\in\N_0^n
冪 :$ x\in\R^nに對して、$ x^\alpha:=\prod_{k=1}^n x_k^{\alpha_k}
偏微分 :$ \partial_i:=\frac\partial{\partial x_i}と書き、$ \partial_i^k:=\frac{\partial^k}{\partial x_i^k}と書くとする。$ \partial:=\nabla=(\partial_1,\dots,\partial_n)に對して、$ \partial^\alpha:=\partial_1^{\alpha_1}\dots\partial_n^{\alpha_n}
加減$ \alpha\pm\beta:=(\alpha_1\pm\beta_1,\dots,\alpha_n\pm\beta_n)
絶對値$ |\alpha|:=\sum_{k=1}^n\alpha_k
階乘$ \alpha!:=\prod_{k=1}^n\alpha_k!
二項係數$ \begin{pmatrix}\alpha \\ \beta\end{pmatrix}:=\frac{\alpha!}{\beta!(\alpha-\beta)!}=\prod_{k=1}^n\begin{pmatrix}\alpha_k \\ \beta_k\end{pmatrix}