指數函數
exponential function
$ \exp_a x=\exp({x\log a})
$ \log_a x=\frac{\log x}{\log a}
定義
$ xが自然數の場合、歸納的に$ e^x=\prod_{i=0}^x e 指數法則$ e^{a+b}=e^a e^b,$ e^0=1から導ける
極限$ e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac x n\right)^n
冪級數$ e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}
積分方程式$ x=\int_1^y\frac 1 t{\rm d}tの解
常微分方程式$ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}-y=0,$ y(0)=1の解
$ xが複素數の場合$ e^x=e^{\frak Rx}(\cos\frak Ix+i\sin\frak Ix) 自然對數の底$ e
定義
$ e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac 1 n\right)^n
$ \lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}h=1となる$ e
$ e=\sum_{n=0}^\infty\frac 1{n!}
對數函數 (logarithm function) 定義
$ \ln x=\int_1^x\frac 1 t{\rm d}t
擴張
離散對數 (discrete logarithm) $ Gを位數$ nの有限巡廻群とし、$ b\in Gを決める。$ a\in Gについて$ a^k=bとなる最小の自然數$ k\le nを求める $ \log_q(z):=(1-q)(z-1)\sum_{n=0}^\infty\frac{q^n}{1+(z-1)q^n}\quad(0<q\le 1)
指數法則
$ e^{a+b}=e^a e^b,$ e^0=1
$ \exp\sum x=\prod\exp x
$ \log(ab)=\log a+\log b,$ \log 1=0
$ \log\prod x=\sum\log x
擴張
定義域の擴張
超指數函數 (hyperexponential function)
$ e:{\rm On}\to{\rm On},$ e(\xi):=\begin{cases}-1+\omega^\xi & \xi=0 \\ \omega^\xi & {\rm otherwise}\end{cases}
code:tex
\exp_q(z):=\begin{cases}
\frac 1{((1-q)z;q)_\infty}=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{\lbrack n\rbrack_q!} & |q|\le 1 \\
\frac 1{\exp_{\frac 1 q}(-z)} & |q|>1
\end{cases}
hyper 演算
$ a\to b=a\to b\to 1=a\uparrow^1 b= a^b
$ a\to b\to c=a\uparrow^c b
$ X\to b\to c=X\to(X\to(b-1)\to c)\to(c-1)
$ \{a\}=a
$ \{a,b\}=a^b
$ \{a,b,\dots,z,1\}=\{a,b,\dots,z\}
$ \{a,1,b,\dots,z\}=\{a\}=a
$ \{a,b,1,\dots(n個)\dots,1,c\dots,z\}=\{a,\dots(n+1個)\dots,a,\{a,b-1,1,\dots(n個)\dots,1c,\dots,z\},c-1,\dots,z\}
$ \{a,b,c,\dots,z\}=\{a,\{a,b-1,c,\dots,z\},c-1,\dots,z\}
$ C_0半群 (強連續 1 parameter 半群)
多重指數記法の冪$ x^\alpha:=\prod_{k=1}^n x_k^{\alpha_k} 順序指數函數 (ordered exponential。經路順序指數函數 (path-ordered exponential)。時閒順序指數函數 (time-ordered exponential))