冪對象
power object。指數對象 (exponential object)$ X^Y。$ \lbrack Y,X\rbrack
對象$ X,$ Yに就いて$ X^Yが冪對象であるとは、任意の對象$ Zと射$ g:Z\times Y\to Xに對して、可換圖式$ \begin{CD}X\times Y @= X\times Y \\ @VV!{\rm curry}(G)\times{\rm id}_YV @VVgV \\ Z^Y\times X @>>{\rm eval}(g)> Z\end{CD}を滿たす射$ {\rm curry}(g):Z\to X^Yが一意に存在する事を言ふ $ {\rm eval}(g)を評價射 (evaluation map) と呼ぶ
射$ gと$ {\rm curry}(g)とを指數隨伴 (exponential adjoints) であると言ふ
射$ {\rm curry}(g)を射$ gの轉置 (transpose) とも言ふ
冪對象$ X^Yは、Hom 函手$ {\bf C}(\_\times Y,X)を表現する對象 (representing object) である 冪對象$ X^Yは、自然同型$ {\bf C}(Z\times Y,X)\cong{\bf C}(Z,X^Y)を滿たす對象である $ (\_\times Y\dashv\_^Y):{\bf C}\xrightleftarrows[\_\times Y]{\_^Y}{\bf C}
←→餘冪對象 (coexponential object) 對象$ Yとの任意の餘積$ \_\coprod Yが存在するとし、對象$ Xとの餘冪對象$ {\rm Coexp}(Y,X)とは、任意の對象$ Zと射$ e:X\to Z\coprod Yに對して、可換圖式$ \begin{CD} Z\coprod Y @= Z\coprod Y\\ @A!u\coprod{\rm id}_YAA @AAeA \\ {\rm Coexp}(Y,X)\coprod Y @<<\eta< X\end{CD}を滿たす射$ u:{\rm Coexp}(Y,X)\to Zが一意に存在する事を言ふ $ \etaを餘評價射 (coevaluation map) と呼ぶ