位相空間問題集 - くたくたじゅうよん

位相空間問題集

位相空間とあるが、それにとどまらず広く集合論の問題集となっている

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第 1 章集合と写像 1

1.1 集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 集合の演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 直積, 直和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 同値関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

同値関係

商集合$ X/\sim、同値類$ \bar xの定義はリンク先参照

$ x\mapsto\bar xを商写像(自然な写像)と呼ぶ

同値類との定義の違いがわからないtakker.icon

30. 同値類の性質

1. $ \forall a\in X;a\in\bar a

回答：同値類の定義と反射律から自明

2. $ \forall a,b\in X;a\sim b\implies\bar a=\bar b

同値関係にある要素は同じ同値類に属する

回答：推移律より自明

3. $ \forall a,b\in X;\lnot(a\sim b)\implies\bar a\cap\bar b=0

同値類に交わりはない

回答：対称律と推移律より$ (\exist c\in X;c\in\bar a\cap\bar b)\implies\exist c\in X;(c\sim a\land c\sim b)\implies a\sim b、あとはこれの対偶をとるだけ

31. 合同式$ \equiv\pmod nが$ \Z上の同値関係であることを示し、$ \Z/\equiv\pmod nを求める

回答

同値関係であることの証明は略

$ \Z/\equiv\pmod n=\{\{m\in\Z|m\equiv 0\pmod n\},\{m\in\Z|m\equiv 1\pmod n\},\cdots\}

$ = \{\{0,n,2n,3n,\cdots\},\{1,n+1,2n+1,3n+1,\cdots\},\cdots\}

$ nで割り切れる数の集合、1余る数の集合、2余る数の集合、……が含まれる

32. 幾何学における同値関係

1. ２つの三角形が合同 (幾何学)である

2. ２つの三角形が相似である

3. ２つの直線が平行である

33. $ \forall x,y\in\R;x\sim y:\iff(x-y)\in\Zが同値関係になることを示せ

合同式の考えを実数に広げたもの

回答

$ \vdash\forall x\in\R;x-x=0\in\Z

$ \vdash\forall x,y\in\R;x-y=y=xより対称律も正しい

$ \forall x,y,z\in\R;x\sim y\land y\sim z\iff (x-y),(y-z)\in\Z\implies x-z=(x-y)+(y-z)\in\Z\implies x\sim z

以上より$ \simは$ \R上の同値関係である

34. $ \forall l,m,p,q\in\N;(l,m)\sim(p,q):\iff l+q=m+pが同値関係であることを示し、$ \N^2/\simを求めよ

数vectorの差の成分がどれも同じになる数vectorの集合をひとまとめにする

1.7 順序関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

半順序

さらに$ \forall x,y\in X;x\le y\lor y\le xのとき、$ (X,\le)を全順序集合とよび、$ \leを全順序と呼ぶ

cf.$ xとyが比較可能:\iff x\le y\lor y\le x

その他定義

任意の半順序集合$ (X,\le)と$ A\subseteq X,s,i\in Xについて、

$ sが$ Aの上界である$ :\iff A \le s:\iff\forall a\in A;a\le s

$ iが$ Aの下界である$ :\iff i\le A:\iff\forall a\in A;i\le a

$ Aが上に有界である$ :\iff\exist s\in X;A\le s

$ Aが下に有界である$ :\iff\exist i\in X;i\le A

上界と下界の記号は、半順序関係をそのまま流用した

$ sが$ Aの最大値$ :\iff s\in A\land A\le s

存在するなら一意で、$ s=\max Aと書く

$ iが$ Aの最小値$ :\iff i\in A\land A\le i

存在するなら一意で、$ i=\min Aと書く

$ sが$ Aの上限$ :\iff s\in\{s\in X|A\le s\}\land s\le\{s\in X|A\le s\}

存在するなら一意で、$ s=\sup Aと書く

$ iが$ Aの下限$ :\iff i\in\{i\in X|A\le i\}\land i\le\{i\in X|A\le i\}

存在するなら一意で、$ i=\inf Aと書く

$ Mが$ Aの極大元$ :\iff M\in A\land\lnot\exist a\in A;M\le a\land M\neq a

全順序なら最大元と一致する

$ mが$ Aの極小元$ :\iff m\in A\land\lnot\exist a\in A;a\le m\land m\neq a

全順序なら最小元と一致する

44. $ m/n:\iff\exist k\in\Z;m=knのとき、$ (\Z,/)が半順序集合になることを示せ

45. 冪集合の半順序集合が全順序集合でないことを示せ

46. $ X=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}で$ n\backslash m:\iff m/nのとき、$ (X,\backslash)について以下を求めよ

$ \max X,\min X

極大元と極小元

$ \sup X,\inf X

$ A=\{1,2,3\}にて$ \sup A,\inf A

$ B=\{6,7,8\}にて$ \sup B,\inf B

47. 空でない集合$ Xに対して、filter (数学)$ \mathcal Fを定義できる

1. 2項関係$ \forall f,g: X\to\R;f\underset{\cal F}{\sim}g:\iff\{x\in X|f(x)=g(x)\}\in\mathcal Fが同値関係であることを示せ

2. 2項関係$ \forall f,g: X\to\R;\bar f\le\bar g:\iff\{x\in X|f(x)\le g(x)\}\in\mathcal Fを定義したとき

1. well-definedか示せ

2. $ (\R^X/\underset{\cal F}{\sim},\underset{\cal F}{\le})が半順序集合であることを示せ

3. $ \underset{\cal F}{\le}が全順序かどうか示せ

1.8 集合の濃度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9 選択公理, Zornの補題, 整列可能定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.10 実数の上限, 下限, 上極限, 下極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.11 追加 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

第 2 章距離空間 25

2.1 距離空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

距離空間に関する定義

点$ xのε近傍$ :=U(x,\varepsilon):=\{y\in X|d(x,y)<\varepsilon\}

$ \forall O\subseteq Xにて

$ Oが$ Xの開集合$ :\iff\forall x\in O\exist\varepsilon>0;U(x,\varepsilon)\subseteq O

$ Oが$ Xの閉集合$ :\iff X\setminus Oが$ Xの開集合

$ \forall U\subseteq X\forall x\in Uにて$ Uが点$ xの近傍$ :\iff\exist O\subseteq U;x\in O\land Oが$ Xの開集合

$ \forall x\in Xにて

点$ xの近傍系$ :={\cal U}(x):=\{U\in2^X|Uは点xの近傍\}

$ {\cal U}^*(x)が$ xの基本近傍系である$ :\iff\forall U\in{\cal U}(x)\exist V\in{\cal U}^*(x);V\subseteq U

$ \forall A\subseteq Xにて

$ Aの(内核|開核|開核)$ :=A^\circ:=\bigcup\{O\in2^A|OはXの開集合\}

開核の意味：/mrsekut-p/開核#5d9ab6a819827000007b1014

$ a\in A^\circを$ Aの内点と呼ぶ

$ Aの外部 (数学)$ :=A^e:=(X\setminus A)^\circ

$ a\in A^eを$ Aの外点と呼ぶ

$ Aの境界$ :=\partial A:=X\setminus(A^\circ\cup A^e)

$ a\in\partial Aを$ Aの境界点と呼ぶ

$ Aの閉包$ :=\overline A:=\bigcap\{O\in2^X|A\subseteq X\land OはXの開集合\}

$ a\in\overline Aを$ Aの触点と呼ぶ

$ \forall B\subseteq Xにて、$ Aは$ Bで緻密である$ :\iff B\subseteq\overline A

$ Aは緻密である$ :\iff \overline A=X

$ Aは全疎である$ :\iff\overline A^\circ=\varnothing

第 3 章位相空間 35

3.1 位相空間の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

定義は位相を参照

その他の定義

$ Oが位相$ \cal Oの開集合$ :\iff O\in{\cal O}

127.

128. 距離空間$ (X,d)との関係

129. 離散位相

130. 密着位相

131. 離散距離空間

132. ザリスキー位相

$ {\cal O}_z:=\{A\in2^\R||\R\setminus A|\in\N\}\cup\{\varnothing\}が$ \Rに位相を定めることを示せ

133. $ \{0,1\}の位相をすべて示せ

134. 位相の強弱は順序の公理を満たす

135.

136.

3.2 閉集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

距離空間における定義と同じ

3.3 近傍系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

定義3.3.1

$ (X,\mathcal O)を位相空間とする

$ \forall U\in 2^X\forall x\in X.Uが$ xの近傍である$ :\iff\exist O\in\mathcal O.x\in O\subseteq U

$ \forall U\in 2^X\forall x\in X.Uが$ xの開近傍である$ :\iff\exist O\in\mathcal O.x\in O\subseteq U\in\mathcal O

$ \iff x\in U\in\mathcal O

これは『多様体入門 (数学選書 5)』の定義と等しい

$ xの近傍系を$ \mathcal U_x(X,\mathcal O):=\{U\in2^X|\exist O\in\mathcal O.x\in O\subseteq U\}と定義する

$ (X,\mathcal O)の近傍系を$ \mathcal U(X,\mathcal O):=\bigcup_{x\in X}\mathcal U_x(X,\mathcal O)と定義する

定義3.3.2

$ (X,\mathcal O)を位相空間とする

$ \mathcal U^*:X\to 2^{2^X}が以下を満たすとき、$ \mathcal U^*:=\bigcup_{x\in X}\mathcal U_x^*を$ (X,\mathcal O)の基本近傍系と呼ぶ

(i)$ \forall x\in X.\mathcal U_x^*\subseteq\mathcal U_x(X,\mathcal O)

(ii)$ \forall x\in X\forall U\in\mathcal U_x(X,\mathcal O)\exist V\in\mathcal U^*_x.V\subseteq U

定義3.3.3

$ (X,\mathcal O)を位相空間とする

$ \mathcal U(X,\mathcal O):X\to 2^{2^X}\setminus\{\varnothing\}が近傍系の公理を満たすとき、$ \mathcal U(X,\mathcal O):=\bigcup_{x\in X}\mathcal U_x(X,\mathcal O)は$ (X,\mathcal O)の近傍系であるという

近傍系の公理

Hausdorffの公理系のことtakker.icon

1. $ \forall U\in\mathcal U_x(X,\mathcal O).x\in U

2. $ \forall U_1,U_2\in\mathcal U_x(X,\mathcal O).U_1\cap U_2\in\mathcal U_x(X,\mathcal O)

3. $ \forall U_1\in\mathcal U_x(X,\mathcal O)\forall U_2\subseteq U_1.U_2\in\mathcal U_x(X,\mathcal O)

4. $ \forall U_1\in\mathcal U_x(X,\mathcal O)\exist U_2\in\mathcal U_x(X,\mathcal O).U_2\subseteq U_1\land\forall y\in U_2.U_1\in\mathcal U_y(X,\mathcal O)

定義3.3.4

$ (X,\mathcal O)を位相空間とする

$ \mathcal U^*(X,\mathcal O):X\to 2^{2^X}\setminus\{\varnothing\}が基本近傍系の公理を満たすとき、$ \mathcal U^*(X,\mathcal O):=\bigcup_{x\in X}\mathcal U_x^*(X,\mathcal O)は$ (X,\mathcal O)の基本近傍系であるという

基本近傍系の公理

1. $ \forall U\in\mathcal U_x^*(X,\mathcal O).x\in U

2. $ \forall U_1,U_2\in\mathcal U_x^*(X,\mathcal O)\exist U_3\in\mathcal U_x^*(X,\mathcal O).U_3\subseteq U_1\cap U_2

3. $ \forall U_1\in\mathcal U_x^*(X,\mathcal O)\exist U_2\in\mathcal U_x^*(X,\mathcal O).U_2\subseteq U_1\land\forall y\in U_2\exist U_3\in\mathcal U_y^*(X,\mathcal O).U_3\subseteq U_1

問題

3.4 内部, 外部, 閉包 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5 点列の収束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.6 フィルターの収束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.7 連続写像と相対位相 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

$ \forall (X,{\cal O})\forall A\subseteq Xにて$ {\cal O}_A:=\{O_A\in X|\exist O\in{\cal O};O_A=A\cap O\}を$ Xによる$ Aの相対位相と呼ぶ

$ {\cal O}_Aは$ Aに位相を定める

$ (A,{\cal O}_A)を部分位相と呼ぶ

3.8 位相の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

第 4 章位相空間の性質 49

4.1 分離公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 コンパクト性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49