閉包
$ Aを含む閉集合の最小元のこと
定義
公理的構成
Kuratowskiの閉包公理系を満たす$ \bar\bullet:2^X\to2^Xにて、$ \overline{A}を$ Aの閉包 (closure)と呼ぶ
閉集合系$ \mathcal Cによる構成
$ \bar\bullet:2^X\ni A\mapsto\bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}\in2^X
証明：閉集合系の公理→Kuratowskiの閉包公理系
from 内田 5章 位相空間
$ \forall A\in2^X:\bar A:=\bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}
を$ Aのと呼ぶ
$ \bar A=\min\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}とも表せる
半順序集合$ (2^X,\subseteq)と捉えて、下方閉包$ A^\downarrowを使えば
$ \overline{A}=\min(A^\downarrow\cap\mathcal C)
とも書ける
全近傍系$ \mathcal Nによる構成
$ \bar\bullet:2^X\ni A\mapsto\{x\in X\mid\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\neq\varnothing\}\in2^X
証明：Hausdorffの公理系→Kuratowskiの閉包公理系
関連用語
$ \bar Aの元を$ Aの触点と呼ぶ
$ \bar\bullet:2^X\to\mathcal Cを位相空間$ (X,\mathcal O)の閉包作用素(閉包作用子)と呼ぶ
表記
$ \operatorname{cl}Ahttps://ja.wikipedia.org/wiki/閉包_(位相空間論)
$ A^a『集合と位相（増補新装版） (数学シリーズ)』
性質
(K1)~(K4)：Kuratowskiの閉包公理系を参照
(K2')https://en.wikipedia.org/wiki/Kuratowski_closure_axioms#Induction_of_closure_from_topology$ \forall A,B\in2^X:A\subseteq B\implies\overline{A}\subseteq\overline{B}
$ \because\forall A,B\in2^X:
$ A\subseteq B
$ \iff B=A\cup B
$ \implies\overline{B}=\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}
$ \because(K4)
$ \iff\overline{A}\subseteq\overline{B}
(K7)$ \forall A\in2^X:\overline{A}\in\mathcal C
$ \because(K3)
$ \iff\forall A\in2^X:\overline{\overline{A}}=\overline{A}
$ \iff\overline{A}\in\mathcal C
$ \because閉包作用素で閉集合系は$ \mathcal C=\{C\in2^X\mid\overline{C}=C\}と表せる
(K5) $ x\in\bar A\iff\forall C\in\mathcal C:(A\subseteq C\implies x\in C)
$ \because\forall x:
$ x\in\overline A
$ \iff x\in\bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}
$ \iff\forall C\in\mathcal C:(A\subseteq C\implies x\in C)
Kuratowskiの閉包公理系から出せないかなtakker.icon
(K6)$ \forall A\in2^X\forall C\in\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}:\bar A\subseteq C
$ \because\forall A\in2^X\forall C\in\mathcal C:
$ C\in\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}
$ \implies \bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}\subseteq C
$ \iff\bar A\subseteq C
これは、半順序集合$ (2^X,\subseteq)における最小元を$ \minとしたとき、
$ \bar A=\min\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}
が成り立つことを示している
(K8)$ \forall C\in\mathcal C:\overline{C}=C
任意の位相空間$ (X,\mathcal O)に対して、Kuratowskiの閉包公理系を満たす閉包作用素が一意に存在することも知られている
証明
存在性は$ \bar\bullet:2^X\ni A\mapsto\bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}\in\mathcal Cが閉包作用素になることから自明
証明は閉集合系の公理→Kuratowskiの閉包公理系を参照
一意性を示す
$ \forall\bullet^c:2^X\to2^X:
$ \bullet^cはKuratowskiの閉包公理系を満たす
$ \implies\forall A\in2^X:A\subseteq\overline{A}
$ \because(K2)
$ \implies\forall A\in2^X:A^c\subseteq\overline{A}^c
$ \because(K2')
$ =\overline{A}
$ \because\forall C\in\mathcal C:\overline{C}=Cと(K7)
$ \subseteq\overline{A}
$ \because閉包(K6)
$ \implies\forall A\in2^X:\overline{A}=A^c
$ \underline{\iff\overline{\bullet}=\bullet^c\quad}_\blacksquare
$ \implies
使えるものを列挙すると
$ \bullet^cにて閉包(K5),(K6)が成り立つ
(K6)$ A^c=\min A^\downarrow\cap\mathcal C
ここから$ A^c\subseteq\overline{A}\subseteq A^cを示せればいい
色々試す
(K6)から$ A^c\subseteq\overline{A}はわかる
あとは$ \overline{A}\subseteq A^cを示せればいい
$ \overline{A}\subseteq\overline{A^c}=A^c
これでいけるtakker.icon
証明
#2025-01-29 16:58:25
#2025-01-27 17:12:14
#2025-01-24 16:44:23