閉包

定義

同値な定義

$ \bar\bullet:2^X\ni A\mapsto\bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}\in2^X

$ \overline{A}=\min(A^\downarrow\cap\mathcal C)

とも書ける

$ \bar\bullet:2^X\ni A\mapsto\{x\in X\mid\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\neq\varnothing\}\in2^X

$ \{x\in X\mid\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\neq\varnothing\}

$ = \{x\in X\mid\lnot\exist N\in\mathcal N(x):N\cap A=\varnothing\}

$ = X\setminus\{x\in X\mid\exist N\in\mathcal N(x):N\cap A=\varnothing\}

$ = X\setminus\{x\in X\mid\exist N\in\mathcal N(x):N\subseteq X\setminus A\}

$ = X\setminus\{x\in X\mid X\setminus A\in\mathcal N(x)\}

関連用語

「接触」のイメージはこの図解がわかりやすそう

位相空間は結構分かり易い。

https://gyazo.com/b4aacc54fcb4bdc71d12ec77a8c4a57c

> 数学ではどこかで直感を手放さなければならない、というのは正しい気がするんだけど、位相空間は「ある点に十分近い」の抽象化としてだいぶ直感的だと思うんだよな……予測不能な多様性を有してはいるんだけど、「ある点に十分近い」を抽象化したら訳がわからん多様性が生じるのが直感的というか。

表記がいくつかある

性質

$ \because\forall A,B\in2^X:

$ A\subseteq B

$ \iff B=A\cup B

$ \implies\overline{B}=\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}

$ \iff\overline{A}\subseteq\overline{B}

$ \iff\forall A\in2^X:\overline{\overline{A}}=\overline{A}

$ \iff\overline{A}\in\mathcal C

$ \because\forall x:

$ x\in\overline A

$ \iff x\in\bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}

$ \iff\forall C\in\mathcal C:(A\subseteq C\implies x\in C)

$ \because\forall A\in2^X\forall C\in\mathcal C:

$ C\in\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}

$ \implies \bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}\subseteq C

$ \iff\bar A\subseteq C

$ \bar A=\min\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}

が成り立つことを示している

$ \forall A\in2^X:\overline{A}=\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_A:\mathcal F\to x}

proof

$ x\in X\land\exist\mathcal F\in\mathscr F_A:\mathcal F\to x

$ \iff x\in X\land\exist\mathcal F\in\mathscr F_A:\mathcal N(x)\subseteq\mathcal F

$ A\in\mathcal F\neq2^A

$ \forall F_1,F_2\in\mathcal F:F_1\cap F_2\in\mathcal F

$ \lang\mathcal F\rang_A\subseteq\mathcal F

$ \implies x\in X\land\exist\mathcal F\in\mathscr F_A\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\in\mathcal F

$ \implies x\in X\land\exist\mathcal F\in\mathscr F_A\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\neq\varnothing

$ \because\varnothing\notin\mathcal F

$ \implies x\in\overline{A}

$ \implies\Set{F\in2^X|\exist N\in\mathcal N(x):N\cap A\subseteq F}

$ \implies\Set{F\in2^X|\exist N\in\left.\mathcal N(x)\right|_A:N\subseteq F}

$ \implies\mathcal N(x)\subseteq\lang\left.\mathcal N(x)\right|_A\rang_X\in\mathscr F_A

$ \forall x\in X\forall\mathcal F\in\mathscr F_X:\mathcal F\to x\implies x\in\bigcap_{F\in\mathcal F}\overline{F}

$ \forall A\in2^X:\overline{A}=\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X:A\in\mathcal F\to x}

$ \because\forall A\in2^X:\overline{A}

$ =X\setminus(X\setminus A)^\circ

$ =X\setminus\Set{x\in X|X\setminus A\in\mathcal N(x)}

$ =\Set{x\in X|X\setminus A\notin\mathcal N(x)}

$ =\Set{x\in X|X\setminus A\notin\lang\mathcal N(x)\rang_X}

$ =\Set{x\in X|\lnot\exist N\subseteq X\setminus A:N\in\mathcal N(x)}

$ =\Set{x\in X|\lnot\exist N: N=(N\cap X)\setminus A\in\mathcal N(x)}

$ =\Set{x\in X|\lnot\exist N\subseteq X: N=N\setminus A\in\mathcal N(x)}

$ =\Set{x\in X|\lnot\exist N\in\mathcal N(x):N=N\setminus A}

$ =\Set{x\in X|\lnot\exist N\in\mathcal N(x):N\cap A=\varnothing}

$ =\Set{x\in X|\varnothing\notin\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}}

$ =\Set{x\in X|\varnothing\notin\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}\neq\varnothing}

$ =\Set{x\in X|\lang\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}\rang_X\in\mathscr F_X}

$ =\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X:\lang\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}\rang_X\in\mathscr F_X\land\lang\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}\rang_X\subseteq\mathcal F}

$ =\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X:\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}\subseteq\mathcal F}

$ \because\forall X\forall A\in2^X\setminus\Set{\varnothing}\forall\mathcal F\in\mathscr F_X:\lang\left.\mathcal F\right|_{\cap A}\rang_X\in\mathscr F_X

$ =\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\in\mathcal F}

$ =\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X\forall N\in\mathcal N(x):N,A\in\mathcal F}

$ =\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X:A\in\mathcal F\supseteq\mathcal N(x)}

$ \underline{=\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X:A\in\mathcal F\to x}\quad}_\blacksquare

堆積点と集積点

証明

一意性を示す

$ \forall\bullet^c:2^X\to2^X:

$ \implies\forall A\in2^X:A\subseteq\overline{A}

$ \implies\forall A\in2^X:A^c\subseteq\overline{A}^c

$ =\overline{A}

$ \subseteq\overline{A}

$ \implies\forall A\in2^X:\overline{A}=A^c

$ \underline{\iff\overline{\bullet}=\bullet^c\quad}_\blacksquare

$ \implies

使えるものを列挙すると

色々試す

$ \overline{A}\subseteq\overline{A^c}=A^c

証明