Kuratowskiの閉包公理系

from 内田 5章位相空間

位相空間$ (X,\mathcal O)上の閉包作用素$ \bar\bullet:2^X\to\mathcal Cが満たす性質のうち、4つを取り出したもの

$ \mathcal C：閉集合系

定義

任意の集合$ X(位相空間である必要はない！)と写像$ \overline{\bullet}:2^X\to2^Xにて、以下の条件をまとめてKuratowskiの閉包公理系という

(K1)$ \bar\varnothing=\varnothing∅̅=∅

(K2)$ \forall A\in2^X:A\subseteq\bar A∀A∈2^X(A⊆A̅)

(K3)$ \forall A\in2^X:\bar{\bar{A}}=\bar A∀A∈2^X(A̿=A̅)

(K4)$ \forall A,B\in 2^X:\overline{A\cup B}=\bar A\cup\bar B∀A,B∈2^X(A̅∪̅B̅=A̅∪B̅)

閉包作用素がKuratowskiの閉包公理系を満たすことを示す

閉集合系の公理→Kuratowskiの閉包公理系

Hausdorffの公理系→Kuratowskiの閉包公理系

開集合系は$ \mathcal O=\{O\in 2^X\mid\forall x\in O\exist N\in\mathcal N(x):N\subseteq O\}で構成できる

$ \bar\bullet:2^X\ni A\mapsto\{x\in X\mid\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\neq\varnothing\}\in2^Xとしたとき、$ \bar\bulletが$ \forall A\in2^X:\overline A\in\mathcal CかつKuratowskiの閉包公理系を満たすことを示す

(K0)$ \forall A\in2^X:

$ \overline A=\{x\in X\mid\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\neq\varnothing\}

$ \iff X\setminus\overline A=\{x\in X\mid\exist N\in\mathcal N(x):N\cap A=\varnothing\}

$ \subseteq\{x\in X\mid\exist N\in\mathcal N(x):N\subseteq X\setminus A\}

$ =\{x\in X\mid\exist N\in\mathcal N(x):(X\setminus N)\cup(X\setminus A)=X\}

$ X\setminus C\in\mathcal O

$ \iff \forall x\in X\setminus C\exist N\in\mathcal N(x):N\subseteq X\setminus C

ちょっとわからんtakker.icon

(K1)$ \overline{\varnothing}=\{x\in X\mid\forall N\in\mathcal N(x):N\cap\varnothing\neq\varnothing\}

$ = \{x\in X\mid\forall N\in\mathcal N(x):\bot\}

$ =\varnothing

$ \underline{\therefore\overline\varnothing=\varnothing\quad}_\blacksquare

(K2)$ \forall A\in2^X\forall x:

$ x\in A

$ \implies(2^A\cap\mathcal N(x)\neq\varnothing\implies A\in\mathcal N(x))

$ \becauseHausdorffの公理系(N4)

$ \implies \forall N\in2^A\cap\mathcal N(x):\varnothing\neq N\subseteq A\in\mathcal N(x)

$ \becauseHausdorffの公理系(N2)

$ \implies\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\neq\varnothing

$ N\subseteq Aを条件から消してるから、これはおかしいtakker.icon

逆に、Kuratowskiの閉包公理系を満たす写像$ \bar\bullet:2^X\to2^Xが存在するなら、$ \overline{\bullet}を閉包作用素とする位相空間$ (X,\mathcal O)が一意に定まる

式で表すと、

$ \forall X\forall\mathcal O\in2^{2^X}\forall\overline\bullet:2^X\to2^X:

$ \begin{dcases}\bar\bullet:2^X\ni A\mapsto\bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}\in\mathcal C\\\mathcal O\in\mathscr O_X\end{dcases}\iff\begin{dcases}\text{(K1)}\land\text{(K2)}\land\text{(K3)}\land\text{(K4)}\\\mathcal O=\{O\in2^X\mid\overline{X\setminus O}=X\setminus O\}\end{dcases}

$ \mathscr O_X：$ X上の位相全体の集合

証明

(L)→(R)

閉集合系の公理→Kuratowskiの閉包公理系より$ \text{(K1)}\land\text{(K2)}\land\text{(K3)}\land\text{(K4)}

あとは$ \mathcal O=\{O\in2^X\mid\overline{X\setminus O}=X\setminus O\}を示せばいい

$ \forall C\in\mathcal C\forall x:

$ x\in\overline{C}

$ \iff\forall C'\in\mathcal C:(C\subseteq C'\implies x\in C')

$ \because(K5)

$ \implies x\in C

$ \because C\in\mathcal C

$ \implies x\in\overline{C}

$ \because(K2)

$ \implies\forall C\in\mathcal C:\overline{C}=C

$ \iff\forall O\in\mathcal O:\overline{X\setminus O}=X\setminus O

$ \iff\mathcal O\subseteq\{O\in2^X\mid\overline{X\setminus O}=X\setminus O\}

$ \forall O\in2^X:

$ \overline{X\setminus O}=X\setminus O

$ \iff O=O^\circ

$ \because開核の性質

$ = \bigcup\{O'\in\mathcal O\mid O'\subseteq O\}

$ \in\mathcal O

$ \because\mathcal O\in\mathscr O_X

$ \implies O\in\mathcal O

$ \implies\{O\in2^X\mid\overline{X\setminus O}=X\setminus O\}\subseteq\mathcal O

以上で題意が示された

(R)→(L)

Kuratowskiの閉包公理系→開集合系の公理より$ \mathcal O\in\mathscr O_X

あとは$ \bar\bullet:2^X\ni A\mapsto\bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}\in\mathcal Cを示せばいい

$ \bullet^c:2^X\ni A\mapsto\bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}\in\mathcal Cとして、$ \bullet^c=\overline{\bullet}を証明する

(K2)

$ \implies\forall A\in2^X:A\subseteq A^c

$ \implies\forall A\in2^X:\overline{A}\subseteq\overline{A^c}

$ \because閉包(K2')

$ =A^c

$ \because閉包(K8)

$ \subseteq\overline{A}

$ \because閉包(K6)$ A^c=\min A^\downarrow\cap\mathcal C

このあたりが循環論法になっていないか心配takker.icon

$ \implies\forall A\in2^X:\overline{A}=A^c

$ \underline{\iff\overline{\bullet}=\bullet^c\quad}_\blacksquare

References

https://en.wikipedia.org/wiki/Kuratowski_closure_axioms

『集合と位相（増補新装版） (数学シリーズ)』 §15 位相 p.71-72

#クラトフスキの閉包公理系

#2025-02-02 10:11:59

#2025-01-27 17:06:18

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