Kuratowskiの閉包公理系
位相空間$ (X,\mathcal O)上の閉包作用素$ \bar\bullet:2^X\to\mathcal Cが満たす性質のうち、4つを取り出したもの $ \mathcal C：閉集合系
定義
任意の集合$ X(位相空間である必要はない！)と写像$ \overline{\bullet}:2^X\to2^Xにて、以下の条件をまとめてKuratowskiの閉包公理系という (K1)$ \bar\varnothing=\varnothing
(K2)$ \forall A\in2^X:A\subseteq\bar A
(K3)$ \forall A\in2^X:\bar{\bar{A}}=\bar A
(K4)$ \forall A,B\in 2^X:\overline{A\cup B}=\bar A\cup\bar B
開集合系は$ \mathcal O=\{O\in 2^X\mid\forall x\in O\exist N\in\mathcal N(x):N\subseteq O\}で構成できる $ \bar\bullet:2^X\ni A\mapsto\{x\in X\mid\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\neq\varnothing\}\in2^Xとしたとき、$ \bar\bulletが$ \forall A\in2^X:\overline A\in\mathcal CかつKuratowskiの閉包公理系を満たすことを示す (K0)$ \forall A\in2^X:
$ \overline A=\{x\in X\mid\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\neq\varnothing\}
$ \iff X\setminus\overline A=\{x\in X\mid\exist N\in\mathcal N(x):N\cap A=\varnothing\}
$ \subseteq\{x\in X\mid\exist N\in\mathcal N(x):N\subseteq X\setminus A\}
$ =\{x\in X\mid\exist N\in\mathcal N(x):(X\setminus N)\cup(X\setminus A)=X\}
$ X\setminus C\in\mathcal O
$ \iff \forall x\in X\setminus C\exist N\in\mathcal N(x):N\subseteq X\setminus C
ちょっとわからんtakker.icon
(K1)$ \overline{\varnothing}=\{x\in X\mid\forall N\in\mathcal N(x):N\cap\varnothing\neq\varnothing\}
$ = \{x\in X\mid\forall N\in\mathcal N(x):\bot\}
$ =\varnothing
$ \underline{\therefore\overline\varnothing=\varnothing\quad}_\blacksquare
(K2)$ \forall A\in2^X\forall x:
$ x\in A
$ \implies(2^A\cap\mathcal N(x)\neq\varnothing\implies A\in\mathcal N(x))
$ \implies \forall N\in2^A\cap\mathcal N(x):\varnothing\neq N\subseteq A\in\mathcal N(x)
$ \implies\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\neq\varnothing
$ N\subseteq Aを条件から消してるから、これはおかしいtakker.icon
式で表すと、
$ \forall X\forall\mathcal O\in2^{2^X}\forall\overline\bullet:2^X\to2^X:
$ \begin{dcases}\bar\bullet:2^X\ni A\mapsto\bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}\in\mathcal C\\\mathcal O\in\mathscr O_X\end{dcases}\iff\begin{dcases}\text{(K1)}\land\text{(K2)}\land\text{(K3)}\land\text{(K4)}\\\mathcal O=\{O\in2^X\mid\overline{X\setminus O}=X\setminus O\}\end{dcases}
$ \mathscr O_X：$ X上の位相全体の集合
証明
(L)→(R)
あとは$ \mathcal O=\{O\in2^X\mid\overline{X\setminus O}=X\setminus O\}を示せばいい
$ \forall C\in\mathcal C\forall x:
$ x\in\overline{C}
$ \iff\forall C'\in\mathcal C:(C\subseteq C'\implies x\in C')
$ \because(K5)
$ \implies x\in C
$ \because C\in\mathcal C
$ \implies x\in\overline{C}
$ \because(K2)
$ \implies\forall C\in\mathcal C:\overline{C}=C
$ \iff\forall O\in\mathcal O:\overline{X\setminus O}=X\setminus O
$ \iff\mathcal O\subseteq\{O\in2^X\mid\overline{X\setminus O}=X\setminus O\}
$ \forall O\in2^X:
$ \overline{X\setminus O}=X\setminus O
$ \iff O=O^\circ
$ = \bigcup\{O'\in\mathcal O\mid O'\subseteq O\}
$ \in\mathcal O
$ \because\mathcal O\in\mathscr O_X
$ \implies O\in\mathcal O
$ \implies\{O\in2^X\mid\overline{X\setminus O}=X\setminus O\}\subseteq\mathcal O
以上で題意が示された
(R)→(L)
あとは$ \bar\bullet:2^X\ni A\mapsto\bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}\in\mathcal Cを示せばいい
$ \bullet^c:2^X\ni A\mapsto\bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}\in\mathcal Cとして、$ \bullet^c=\overline{\bullet}を証明する
(K2)
$ \implies\forall A\in2^X:A\subseteq A^c
$ \implies\forall A\in2^X:\overline{A}\subseteq\overline{A^c}
$ =A^c
$ \subseteq\overline{A}
$ \because閉包(K6)$ A^c=\min A^\downarrow\cap\mathcal C このあたりが循環論法になっていないか心配takker.icon
$ \implies\forall A\in2^X:\overline{A}=A^c
$ \underline{\iff\overline{\bullet}=\bullet^c\quad}_\blacksquare
References