開核
定義
公理系による構成
開核公理系を満たす$ \bullet^\circ:2^X\to2^Xについて、$ A^\circを$ Aの開核と呼ぶ 任意の位相空間$ (X,\mathcal O)にて $ \forall A\in2^X:A^\circ:=\bigcup\{O\in\mathcal O\mid O\subseteq A\}
$ A^\circ=\max\{O\in\mathcal O\mid O\subseteq A\}とも書ける(後述)
半順序集合$ (2^X,\subseteq)と捉えて、上方閉包$ A^\uparrowを使えば $ A^\circ=\max(A^\uparrow\cap\mathcal O)
とも書ける
$ A^\circ:=X\setminus\overline{X\setminus A}
$ A^\circ:=\{x\in X|A\in\mathcal N(x)\}
関連用語
$ \bullet^\circ:2^X\to\mathcal Oを位相空間$ (X,\mathcal O)の(開核作用素|開核作用子)という 性質
開集合系による同値変形$ x\in A^\circ\iff\exist O\in\mathcal O:x\in O\subseteq A $ \because x\in A^\circ
$ \iff x\in\bigcup\{O\in\mathcal O\mid O\subseteq A\}
$ \iff\exist O\in\{O\in\mathcal O\mid O\subseteq A\}:x\in O
$ \iff\exist O\in\mathcal O:O\subseteq A\land x\in O
$ \iff\exist O\in\mathcal O:x\in O\subseteq A
全近傍系による同値変形$ x\in A^\circ\iff A\in\mathcal N(x) 最大元を使った変形$ A^\circ=\max\{O\in\mathcal O\mid O\subseteq A\} $ \because\forall O\in\mathcal O:
$ O\in\{O\in\mathcal O\mid O\subseteq A\}
$ \implies O\subseteq\bigcup\{O\in\mathcal O\mid O\subseteq A\} =A^\circ
$ \forall A\in2^X\forall O\in\{O\in\mathcal O\mid O\subseteq A\}:O\subseteq A^\circ
$ \iff\forall A\in2^X\forall O\in\mathcal O:O\subseteq A\implies O\subseteq A^\circ
$ \mathcal O=\{O\in2^X\mid O^\circ=O\}を使えるなら成立するか
表記
他に、$ \operatorname{int}Aや$ A^\circがある
References