開核公理系 - くたくたじゅうよん

開核公理系

開核が満たす論理式の集まり

名前は仮takker.icon

任意の位相空間$ (X,\mathcal O)上の開核作用素$ \bullet^\circ:2^X\to\mathcal Oが満たす論理式のうち、以下の5式のこと

(I1) $ X^\circ =XX^∘=X

(I2) $ \forall A\in2^X:A^\circ\subseteq A∀A∈2^X(A^∘⊆A)

(I3) $ \forall A,B\in2^X:A\subseteq B\implies A^\circ\subseteq B^\circ∀A,B∈2^X(A⊆B⟹A^∘⊆B^∘)

(I4) $ \forall A,B\in2^X:(A\cap B)^\circ=A^\circ\cap B^\circ∀A,B∈2^X((A∩B)^∘=A^∘∩B^∘)

(I5) $ \forall A\in2^X:{A^\circ}^\circ=A^\circ∀A∈2^X(A^∘∘=A^∘)

さらに、開核公理系を満たす$ \bullet^\circ:2^X\to\mathcal Oがただ1つ存在することも示せる

証明

(I3)は(I4)から導けるからいらない

$ \forall A,B:

$ A\subseteq B

$ \iff A=A\cap B

$ \implies A^\circ=(A\cap B)^\circ

$ =A^\circ\cap B^\circ

$ \iff A^\circ\subseteq B^\circ

$ \underline{\therefore\forall A,B:A\subseteq B\implies A^\circ\subseteq B^\circ\quad}_\blacksquare