開核公理系→Hausdorffの公理系

開核公理系(I1)~(I4)と(I0)

(I1) $ X^\circ =XX^∘=X

(I2) $ \forall A\in2^X:A^\circ\subseteq A∀A∈2^X(A^∘⊆A)

(I3) $ \forall A,B\in2^X:(A\cap B)^\circ=A^\circ\cap B^\circ∀A,B∈2^X((A∩B)^∘=A^∘∩B^∘)

(I4) $ \forall A\in2^X:{A^\circ}^\circ=A^\circ∀A∈2^X(A^∘∘=A^∘)

(I0)$ \mathcal N(x)=\{N\in2^X\mid x\in N^\circ\}

からHausdorffの公理系(N1)~(N4)と(N0)

(N1)$ \forall x\in X:X\in\mathcal N(x)∀x∈X(X∈𝒩(x))

(N2)$ \forall x\in X\forall N\in\mathcal N(x):x\in N∀x∈X∀N∈𝒩(x)(x∈N)

(N3a)$ \forall x\in X\forall N_1,N_2\in\mathcal N(x):N_1\cap N_2\in\mathcal N(x)∀x∈X∀N1,N2∈𝒩(x)(N1∩N2∈𝒩(x))

(N3b)$ \forall x\in X\forall N:(2^N\cap\mathcal N(x)\neq\varnothing\implies N\in\mathcal N(x))∀x∈X(⟨𝒩(x)⟩X⊆𝒩(x))

(N4)$ \forall x\in X\forall N_1\in\mathcal N(x)\exist N_2\in\mathcal N(x)\forall y\in N_2:N_1\in\mathcal N(y)∀x∈X∀N1∈𝒩(x)∃N2∈𝒩(x)∀y∈N2(N1∈𝒩(y))

(N0)$ A^\circ=\{x\in X\mid A\in\mathcal N(x)\}

を導く

証明

(I1)~(I3)∧(I0)⇒(N1)~(N3b)∧(N0)は擬開核の公理→filter場の公理と全く同じ

(I4)⇒(N4)だけ示せばいい

(N4)$ \forall x\in X\forall N_1:

$ N_1\in\mathcal N(x)

$ \iff x\in {N_1}^\circ

$ \because(I6)

$ \iff x\in {{N_1}^\circ}^\circ\land{N_1}^\circ\subseteq{N_1}^\circ

$ \implies\exist N_2\in2^X: x\in{N_2}^\circ\land N_2\subseteq{N_1}^\circ

$ \because N_2={N_1}^\circとした

$ \iff\exist N_2\in\mathcal N(x):N_2\subseteq{N_1}^\circ

$ \because(I0)

$ \iff\exist N_2\in\mathcal N(x)\forall y\in N_2:N_1\in\mathcal N(y)

$ \because(I0)

$ \underline{\therefore\forall x\in X\forall N_1\in\mathcal N(x)\exist N_2\in\mathcal N(x)\forall y\in N_2:N_1\in\mathcal N(y)\quad}_\blacksquare