Hausdorffの公理系

from 内田 5章位相空間

任意の位相空間$ (X,\mathcal O)上の全近傍系$ \mathcal N:X\to2^Xの必要十分条件

(N1)$ \forall x\in X:\mathcal N(x)\neq\varnothing∀x∈X(𝒩(x)≠∅)

∀X,ℱ(ℱ∩2^X≠∅⇔X∈⟨ℱ⟩X)だから$ \forall x\in X:X\in\mathcal N(x)∀x∈X(X∈𝒩(x))と替えても同値

(N2)$ \forall x\in X\forall N\in\mathcal N(x):x\in N∀x∈X∀N∈𝒩(x)(x∈N)

$ \forall x\in X:x\in\bigcap\mathcal N(x)としてもいい

ここから$ \forall x\in X:\varnothing\notin\mathcal N(x)を言える

点filter$ \lang\{\{x\}\}\rang_Xを使って$ \forall x\in X:\mathcal N(x)\subseteq\lang\{\{x\}\}\rang_Xと替えても同値だが、これは

$ \forall x\in X:\lang\{\{x\}\}\rang_X\to x

$ \to：filterの収束

を意味する。これは収束空間の公理を示唆している

(N3a)$ \forall x\in X\forall N_1,N_2\in\mathcal N(x):N_1\cap N_2\in\lang\mathcal N(x)\rang_X∀x∈X∀N1,N2∈𝒩(x)(N1∩N2∈⟨𝒩(x)⟩X)

$ \lang\bullet\rang_\bullet：拡張 (集合)

$ \forall x\in X\forall N_1,N_2\in\mathcal N(x):N_1\cap N_2\in\mathcal N(x)∀x∈X∀N1,N2∈𝒩(x)(N1∩N2∈𝒩(x))と替えても同値

(N3b)$ \forall x\in X:\lang\mathcal N(x)\rang_X\subseteq\mathcal N(x)∀x∈X(⟨𝒩(x)⟩X⊆𝒩(x))

(N4)$ \forall x\in X\forall N_1\in\mathcal N(x)\exist N_2\in\mathcal N(x)\forall y\in N_2:N_1\in\mathcal N(y)∀x∈X∀N1∈𝒩(x)∃N2∈𝒩(x)∀y∈N2(N1∈𝒩(y))

$ \forall x\in X\forall N_1\in\mathcal N(x):{N_1}^\circ\in\lang\mathcal N(x)\rang_Xとも書ける

(N3b)より$ \forall x\in X\forall N_1\in\mathcal N(x):{N_1}^\circ\in\mathcal N(x)としてもいい

$ \forall x\in X:\mathcal N(x)\subseteq\bigcup_{N_2\in\mathcal N(x)}\bigcap_{y\in N_2}\mathcal N(y)とも書ける

同値な定義

(N1)同上

(N2)同上

(N3)$ \forall x\in X\forall N_1,N_2:(N_1,N_2\in\mathcal N(x)\iff N_1\cap N_2\in N(x))

(N4)同上

(N1)~(N3)はfilter場の定義と同じなので、全近傍系はfilter場でもある

証明

開核公理系→Hausdorffの公理系

開集合系の公理→Hausdorffの公理系

開核公理系→Hausdorffの公理系経由で求めるのが楽

一部を開集合系の公理から示してみる

(N2)$ \forall x\in X\forall N:

$ N\in\mathcal N(x)

$ \iff\exist O\in\mathcal O. x\in O\subseteq N

開核を開集合系による定義で展開した

$ \implies x\in N

$ \underline{\therefore\forall x\in X\forall N\in\mathcal N(x):x\in N\quad}_\blacksquare

(N3)$ \forall x\in X\forall N_1,N_2:

$ N_1,N_2\in\mathcal N(x)

$ \iff\begin{dcases}\exist O_1\in\mathcal O:x\in O_1\subseteq N_1\\\exist O_2\in\mathcal O:x\in O_2\subseteq N_2\end{dcases}

$ \implies\exist O_1,O_2\in\mathcal O:x\in O_1\cap O_2\subseteq N_1\cap N_2

$ \implies\exist O_{12}\in\mathcal O.x\in O_{12}\subseteq N_1\cap N_2

$ \because∀O1,O2∈𝒪:O1∩O2∈𝒪

$ \iff N_1\cap N_2\in\mathcal N(x)

$ \underline{\therefore\forall x\in X\forall N_1,N_2\in\mathcal N(x):N_1\cap N_2\in\mathcal N(x)\quad}_\blacksquare

(N5)$ \forall x\in X\forall N_1:

$ N_1\in\mathcal N(x)

$ \iff x\in {N_1}^\circ

$ \iff\exist O_1\in\mathcal O.x\in O_1\subseteq N_1

$ \iff\exist O_1\in\mathcal O.x\in O_1\land\forall y\in O_1.y\in N_1

$ \iff\exist O_1\in\mathcal O.x\in O_1\land\forall y\in O_1.y\in O_1\subseteq N_1

$ \implies\exist O_1\in\mathcal O.x\in O_1\land\forall y\in O_1\exist O_2\in\mathcal O.y\in O_2\subseteq N_1

$ \iff\exist O_1\in\mathcal O.x\in O_1\land\forall y\in O_1.N_1\in\mathcal N(y)

$ \iff\exist O_1\in\mathcal O.x\in O_1\subseteq O_1\land\forall y\in O_1.N_1\in\mathcal N(y)

$ \implies\exist O_1\in\mathcal N(x)\forall y\in O_1.N_1\in\mathcal N(y)

$ \iff\exist N_2\in\mathcal N(x)\forall y\in N_2.N_1\in\mathcal N(y)

$ \underline{\therefore\forall x\in X\forall N_1\in\mathcal N(x)\exist N_2\in\mathcal N(x)\forall y\in N_2:N_1\in\mathcal N(y)\quad}_\blacksquare

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