Hausdorffの公理系

任意の位相空間$ (X,\mathcal O)上の全近傍系$ \mathcal Nが満たす論理式のうち、以下の5式のこと

(N1)$ \forall x\in X:X\in\mathcal N(x)∀x∈X(X∈N(x))

(N2)$ \forall x\in X\forall N\in\mathcal N(x):x\in N∀x∈X∀N∈N(x)(x∈N)

(N3)$ \forall x\in X\forall N_1,N_2\in\mathcal N(x):N_1\cap N_2\in\mathcal N(x)∀x∈X∀N1,N2∈N(x)(N1∩N2∈N(x))

(N4)$ \forall x\in X\forall N:(2^N\cap\mathcal N(x)\neq\varnothing\implies N\in\mathcal N(x))∀x∈X∀N(2^N∩N(x)≠∅⇒N∈N(x))

(N5)$ \forall x\in X\forall N_1\in\mathcal N(x)\exist N_2\in\mathcal N(x)\forall y\in N_2:N_1\in\mathcal N(y)∀x∈X∀N1∈N(x)∃N2∈N(x)∀y∈N2(N1∈N(y))

$ \forall x\in X\forall N_1\in\mathcal N(x)\exist N_2\in\mathcal N(x): N_2\subseteq {N_1}^\circとも書ける

(N1)は(N1'):=$ \forall x\in X:\mathcal N(x)\neq\varnothingと交換してもいい

(N1)$ \implies(N1')と(N1')$ \land(N4)$ \implies(N1)が成立するから

これとは逆に、Hausdorffの公理系を満たす$ \mathcal N:X\to2^Xが一意に定まることが知られている

よって、Hausdorffの公理系を満たす$ \mathcal N:X\to2^Xを全近傍系として定義する事もできる

証明

一部を開集合系の公理から示してみる

(N2)$ \forall x\in X\forall N:

$ N\in\mathcal N(x)

$ \iff\exist O\in\mathcal O. x\in O\subseteq N

開核を開集合系による定義で展開した

$ \implies x\in N

$ \underline{\therefore\forall x\in X\forall N\in\mathcal N(x):x\in N\quad}_\blacksquare

(N3)$ \forall x\in X\forall N_1,N_2:

$ N_1,N_2\in\mathcal N(x)

$ \iff\begin{dcases}\exist O_1\in\mathcal O:x\in O_1\subseteq N_1\\\exist O_2\in\mathcal O:x\in O_2\subseteq N_2\end{dcases}

$ \implies\exist O_1,O_2\in\mathcal O:x\in O_1\cap O_2\subseteq N_1\cap N_2

$ \implies\exist O_{12}\in\mathcal O.x\in O_{12}\subseteq N_1\cap N_2

$ \iff N_1\cap N_2\in\mathcal N(x)

$ \underline{\therefore\forall x\in X\forall N_1,N_2\in\mathcal N(x):N_1\cap N_2\in\mathcal N(x)\quad}_\blacksquare

(N5)$ \forall x\in X\forall N_1:

$ N_1\in\mathcal N(x)

$ \iff x\in {N_1}^\circ

$ \iff\exist O_1\in\mathcal O.x\in O_1\subseteq N_1

$ \iff\exist O_1\in\mathcal O.x\in O_1\land\forall y\in O_1.y\in N_1

$ \iff\exist O_1\in\mathcal O.x\in O_1\land\forall y\in O_1.y\in O_1\subseteq N_1

$ \implies\exist O_1\in\mathcal O.x\in O_1\land\forall y\in O_1\exist O_2\in\mathcal O.y\in O_2\subseteq N_1

$ \iff\exist O_1\in\mathcal O.x\in O_1\land\forall y\in O_1.N_1\in\mathcal N(y)

$ \iff\exist O_1\in\mathcal O.x\in O_1\subseteq O_1\land\forall y\in O_1.N_1\in\mathcal N(y)

$ \implies\exist O_1\in\mathcal N(x)\forall y\in O_1.N_1\in\mathcal N(y)

$ \iff\exist N_2\in\mathcal N(x)\forall y\in N_2.N_1\in\mathcal N(y)

$ \underline{\therefore\forall x\in X\forall N_1\in\mathcal N(x)\exist N_2\in\mathcal N(x)\forall y\in N_2:N_1\in\mathcal N(y)\quad}_\blacksquare