開集合系の公理 - くたくたじゅうよん

開集合系の公理

位相の定義式のこと

任意の集合$ Xにて、(O1)~(O2)を満たす$ \mathcal O\in2^{2^X}を$ Xの位相と呼ぶ

(O1)$ X\in\mathcal OX∈O

(O2)$ \forall O_1,O_2\in\mathcal O:O_1\cap O_2\in\mathcal O∀O1,O2∈O:O1∩O2∈O

(O3)$ \forall\mathcal O'\subseteq\mathcal O:\bigcup\mathcal O'\in\mathcal O∀O'⊆O:⋃O'∈O

系

$ \varnothing\in\mathcal O∅∈O

∀O'⊆O:⋃O'∈Oに$ \mathcal O'=\varnothingを代入すると導かれる

呼び名は色々ある

/takkerでは開集合系の公理と呼ぶことにするtakker.icon

自然言語で解説すると

1. $ Xを含む

2. 有限個の$ \cap演算について閉じている (数学)

積集合に関しては、有限個の集合の交わりしか成り立たないことに注意

無限個の集合の交わりは開集合でなくなる場合がある

e.g. $ \bigcap_{n\in\N}\rbrack-\frac1n,\frac1n\lbrack=\{0\}は開集合でない

単元集合って開集合じゃないのか？takker.icon

未証明

3. 非加算無限個の$ \cup演算について閉じている (数学)

他の位相空間の公理系と同値