位相 - くたくたじゅうよん

位相

定義

任意の集合$ Xに対し、開集合系の公理を満たす集合$ \mathcal O\in2^{2^X}を位相と呼ぶ

関連用語

$ (X,\mathcal O)を位相空間と呼ぶ

$ \mathcal Oは開集合系とも呼ばれる

$ \mathcal Oの元を開集合と呼ぶ

特別な位相には名前がついている

密着位相$ \mathcal O_*:=\{\varnothing,X\}

離散位相$ \mathcal O^*:=2^X

同値な定義

開核作用素$ \bullet^\circによる構成

$ \mathcal O:=\{O\in2^X\mid O^\circ=O\}

証明：$ \bullet^\circ=X\setminus\overline{X\setminus\bullet}とKuratowskiの閉包公理系→開集合系の公理を使えばいい

閉包作用素$ \overline{\bullet}による構成

$ \mathcal O:=\{O\in2^X\mid\overline{X\setminus O}=X\setminus O\}

全近傍系$ \mathcal Nによる構成

$ \mathcal O:=\{O\in2^X\mid\forall x\in O:O\in\mathcal N(x)\}