位相
topology
定義
位相には両極端のものが必ず含まれる
$ O_1\sub O_2なら$ O_2の方が強い
具体例
$ Sの元が1つのとき
$ S=\{a\}だとすると、$ Sの冪集合は$ \{\varphi,\{a\}\} 書き換えるなら$ \{\varphi,S\}
この中から上の定義を満たすものを選べばいい
定義の1つ目から$ \varphi,Sが含まれることはわかる
結論、$ \mathfrak{O}=\{\varphi,S\}となる
これが元が一つのときの位相
$ Sの元が2つのとき
以下の4つが位相
$ \mathfrak{O}_1=\{\varphi,S\} ←最小の部分集合。 密着位相 $ \mathfrak{O}_2=\{\varphi,\{p\},S\}
$ \mathfrak{O}_3=\{\varphi,\{q\},S\}
$ \mathfrak{O}_4=\{\varphi,\{p\},\{q\},S\} ←$ Sの部分集合全体。離散位相 $ Sの元が3つのとき
29個ある
具体例
『数学ガール 6 ポアンカレ予想』.icon p.122にトランプを用いた具体例が載っている
元が3つの場合
位相の具体例を考える
元が2つの集合$ S=\{1,2\}について考える
$ Sの部分集合を列挙すると
$ \varphi
$ \{1\}
$ \{2\}
$ \{1,2\}←$ Sそのもの
の4つになる。
部分集合系は、「部分集合の集合」なので、この4つから適当に選べば良い
例えば
①$ \{\varphi,\{1\}\}とか
②$ \{1,S\}とか
③$ \{\varphi,S\}とか
ただ、これが「位相」になるためには適当に部分集合系を作ればよいのではなく、
上に書いた位相の定義を満たして、部分集合系を作らないといけない
①は$ Sを含んでない。②は$ \varphiを含んでない。ので位相ではない
③は定義をすべて満たすのでこれは$ Sの位相の一つになる
他に考えられるものは、残り3つであり、これら↓
$ \{\varphi,\{1\},S\}
$ \{\varphi,\{2\},S\}
$ \{\varphi,\{1\},\{2\},S\}
これらのどれか一つと、$ Sが与えられた時、それは位相空間になる