位相空間 - mrsekut-p

位相空間

topological space

1つの位相$ \mathfrak{O}を与えられた集合$ Sのこと

$ (S,\mathfrak{O})の2つ組

$ \mathfrak{O}は位相

$ Sの元は「位相空間$ (S, \mathfrak{O})の点」と呼ぶ

開集合が定義されている集合

定義

空でない集合$ Sの部分集合系$ \mathfrak{O}について

①$ S自身と空集合は、位相$ \mathfrak{O}の元である

$ S\in\mathfrak{O}および$ \varphi\in\mathfrak{O}

②位相$ \mathfrak{O}の任意の2つの元(開集合)の共通部分は、$ \mathfrak{O}の元である

$ O_1,O_2\in\mathfrak{O}ならば、$ O_1\cap O_2\in\mathfrak{O}

③位相$ \mathfrak{O}の任意の元(開集合)の和集合は、$ \mathfrak{O}の元である

$ (O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を$ \mathfrak{O}の元からなる任意の集合族とすれば$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}

上記の3つの条件を満たす時、

$ \mathfrak{O}は$ Sの開集合系である、と言う

集合$ Sに開集合系$ \mathfrak{O}が与えられている時

$ \mathfrak{O}は$ Sに位相構造を定める

$ Sには$ \mathfrak{O}による位相が入る

のように言う

$ \mathfrak{O}の元を開集合と呼ぶ

このような位相構造が定められた集合$ Sを位相空間と言う

概要