開集合 - mrsekut-p

開集合

$ R^nの開集合

$ R^nの部分集合$ Mとその開核$ M^\circに関して、$ Mと$ M^\circが一致する場合、$ Mを$ n次元空間$ R^nの開集合、という

$ Mの点がすべて、$ Mの内点である

$ R^nの部分集合は、それが(開)球体の和集合として表されるときのみ、開集合である

この和集合は$ \mathfrak{O}の1つの基底を成している

$ (S,\mathfrak{O})を1つの位相空間とするとき、位相$ \mathfrak{O}の元を開集合という

$ \mathfrak{O}は$ Sの部分集合系

なので$ \mathfrak{O}の元は、「$ Sの部分集合」

https://gyazo.com/6da2888b2bf440fc75c459de94dcff78

なので、

$ \varphiは開集合だし

$ S自信も開集合だし

位相の定義は開集合の定義でもある

$ O_nが開集合

『集合・位相入門』.icon(p.154)では、位相→開集合の順に説明しており、

『数学ガール 6 ポアンカレ予想』.icon(p.106)では開集合→位相の順に説明してる

開集合の公理

$ S\in\mathfrak{O}, \phi\in\mathfrak{O}

$ O_1,O_2\in\mathfrak{O}ならば、$ O_1\cap O_2\in\mathfrak{O}

$ (O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を$ \mathfrak{O}の元からなる任意の集合族とすれば$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}

前提

$ \mathfrak{O}は開集合系

$ Oは$ Sの空でない部分集合

例

$ n=1のとき、開区間$ (a,b)は開集合

参考