位相の具体例を考える

位相の具体例を考える

元が2つの集合$ S=\{1,2\}について考える

$ Sの部分集合を列挙すると

$ \varphi

$ \{1\}

$ \{2\}

$ \{1,2\}←$ Sそのもの

の4つになる。

部分集合系は、「部分集合の集合」なので、この4つから適当に選べば良い

例えば

①$ \{\varphi,\{1\}\}とか

②$ \{1,S\}とか

③$ \{\varphi,S\}とか

ただ、これが「位相」になるためには適当に部分集合系を作ればよいのではなく、

上に書いた位相の定義を満たして、部分集合系を作らないといけない

①は$ Sを含んでない。②は$ \varphiを含んでない。ので位相ではない

③は定義をすべて満たすのでこれは$ Sの位相の一つになる

定義を満たす中で、最も少ないやつ（空集合とS自身の２つだけ）これは自明な位相（密着位相）というmiyamonz.icon

他に考えられるものは、残り3つであり、これら↓

$ \{\varphi,\{1\},S\}

$ \{\varphi,\{2\},S\}

$ \{\varphi,\{1\},\{2\},S\}

全部を入れてるやつは離散位相って言うmiyamonz.icon

これらのどれか一つと、$ Sが与えられた時、それは位相空間になる

miyamonz.iconも具体例書いてみよう

濃度６の有限集合を考える $ S = \{1,2,3,4,5,6\}

https://gyazo.com/ff1ef9f7ba70142dc930ef16b8e4200e

https://gyazo.com/688a76b6e83a6e6a728c558becdfc540

{1} と{2,3}が開集合だったら{1,2,3}も開集合

この部分集合族が「元と元の近さ」みたいなイメージをmiyamonz.iconは持ってる

2と3はくっついてる

4,5,6はくっついてる

だから全部の部分集合のやつは離散位相で、

$ \varphiとSだけのやつは密着位相

有限集合の場合は、条件３の集合族が有限になるなmiyamonz.icon