位相空間がわからない
1つの位相$ \mathfrak{O}を与えられた集合$ Sのこと ?
集合$ Sを見た時、「お、これ位相空間じゃん！」っていうのはおかしいか
https://gyazo.com/bb68741b184f85b9099ed7a7c0bdbeae
この人に位相が見えてたら、位相空間じゃん！ってなるのか
$ \mathbb{N}全体を見た時に、「お、群じゃん！」ってなるのはわかる
集合そのものが群の構造を持っているので、群じゃん！ってなる
ちょっと違う気がするmiyamonz.icon
演算を入れないと群にならないので、この人が頭の中で勝手に演算を入れていることになる
あ、ほんまやmrsekut.icon
位相空間は集合そのものではなく、集合の中のとり方？によって構造を見出してる感じがするので、上の$ Sを見た時に、ある人は「お、位相空間じゃん！」といって、またある人は「位相空間じゃねえよ」ってなるのか
この集合と一緒に、「この位相です」って渡されなかったらわからないか。
https://gyazo.com/b77b9e667defa8b2d0a61d09a340557e
2つ組$ (S,\mathfrak{O})のこと、って言ってるんだから、そらそうかmrsekut.icon
「位相空間$ (S,\mathfrak{O})の部分集合」ってなに
(位相構造を持った)$ Sの普通の部分集合？
miyamonz.icon
Sの部分集合で、構造もそのままその部分集合のなかにあるのだけ引っ張ってきたやつを
（その構造の）部分〜〜とは言う
部分位相空間、相対位相
位相空間の部分集合でもとの空間から由来する自然な位相を備えたものをいう
こういうときに「自然な」という単語をよく使う
自明な、とも言ったりする
たとえば部分群とかもそう
空でない集合$ Sの部分集合系$ \mathfrak{O}について
1. $ S\in\mathfrak{O}および$ \phi\in\mathfrak{O}
2. $ O_1,O_2\in\mathfrak{O}ならば、$ O_1\cap O_2\in\mathfrak{O}
3. $ (O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を$ \mathfrak{O}の元からなる任意の集合族とすれば$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}
を満たすとき、$ \mathfrak{O}は$ Sにおける1つの位相である、と言う
？
集合$ Sの部分集合系$ \mathfrak{O}とは
$ O_1はどこからきた
引数のようなものと思えばいい気がするmiyamonz.icon
これは「２倍を返す関数」というのをa => 2 * aと書くように、
日本語にすると
「２つの部分集合系に属する集合をとってくれば、それらの積集合もその部分集合系に属する」
ちなみにこれは２つの集合で成立するなら、繰り返し当てはめればN個のときも成立することがわかる
1,2は完全に理解したmrsekut.icon
３つめの式は
積集合じゃなくて和集合の場合の似たような条件
ただし、部分集合族を引数としてとってる
これは有限個よりももっと強い制約と言える
例えば$ \Lambdaを2つの元だけの集合$ \{1,2\}としたら上の３式は
$ O_1,O_2\in\mathfrak{O}ならば、$ O_1\cup O_2\in\mathfrak{O}
になりますね
なんとなく言っていることはわかるのですが、2と書き方を変えている意味がわからないです..mrsekut.icon
２よりも強い主張ということですmiyamonz.icon
変えているのではなくて主張が強い、違う
なんか良い説明できそう ちょいまち（飯食べる）
了解です！mrsekut.icon
書いてはいるがちょっとわかりやすい説明にするのが難しいです…miyamonz.icon
図が欲しい
位相の構造を入れられない集合は存在するか
以下の具体例でも触れたとおり、miyamonz.icon
｛空集合、S自身｝という密着位相
Sの冪集合 を離散位相
といって、この２つは少なくとも存在する
ただし、これらは「中身すっからかん」と「ギチギチ」みたいなものなので数学的な考察はあんまりできない
要素一個の群とか考える余地が無いのと似てる
集合族とは
$ \Lambdaによって添数付けられた族$ (A_\lambda)_{\lambda\in A}で、$ \Lambdaの各元$ \lambdaにおいて取る値$ A_\lambdaがそれぞれ1つの集合であるようなものを、集合族という https://gyazo.com/0b0b055eec38327c2d93dddac16beeff
族は、数列を一般化したと考えると理解しやすいmiyamonz.icon
なるほど！！mrsekut.icon
数列
1,2,3...と書く
これは$ (a_n)_{n\in N}と書いたりする
これは言い換えると、
数列とは「自然数を引数として何らかの元を返す写像」といえる
定義域である自然数を拡張して、任意の集合$ \Lambdaとしているのが族
そして写像の出力が集合なのが集合族